ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ

G.Tsikaloudakis · #1

Το τελευταίο Θέμα ,που κατασκεύασα απόψε
για το περιοδικό ''ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟΥ''
(τεύχος 2ο) που θα κυκλοφορήσει αρχές Νοεμβρίου:
ΘΕΜΑ 4ο
Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμου Δ=[0,3] τέτοια ώστε:
$\displaystyle{ f(\Delta ) = [4,10]{\rm{ }}{\rm{, f(1) = 6 }}{\rm{, f'(1) = }} - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{6}}} }$
$\displaystyle{ \forall {\rm{ }}x \in \Delta :{\rm{ }}f'(x) < 0{\rm{ }}{\rm{, f''(x)}} > {\rm{0}} }$

Θεωρούμε ακόμα τη συνάρτηση:

$\displaystyle{ h(x) = \sqrt {x^2 + f^2 (x)} {\rm{ }}{\rm{, x}} \in \Delta }$

α. Να μελετηθεί η h ως προς τη μονοτονία.

β. Να αποδείξετε ότι το M(1,f(1)) της $\displaystyle{ C_f }$
είναι το σημειο της που απέχει ελάχιστα από την αρχή των αξόνων.

γ. Θεωρούμε τους μιγαδικούς:

$\displaystyle{ z = f(x) + xi{\rm{ }}{\rm{, x}} \in \Delta }$

1. Να βρεθεί ο γ. τ. των εικόνων των z.

2. Να βρεθεί το έλαχιστο του $\displaystyle{ \left| z \right| }$ .

MANOLISMATHS · #2

θεωρω οτι η f ειναι συνεχης οπως και η πρωτη παραγωγος της ετσι οπως το εχετε δωσει
${h}'(x)=\frac{x+f'(x)f(x)}{\sqrt{x^2+f^2(x)}} \\ \\ \sqrt{x^2+f^2(x)}>0\\ g(x)= x+f'(x)f(x) \\g'(x)=1+(f'(x))^2+f''(x)f(x)>0\Rightarrow g\ \gamma \nu .\alpha \upsilon \xi o\upsilon \sigma \alpha \\g(1)=0\\ \alpha \rho \alpha \\ h'(x),g(x)>0\ \gamma \iota \alpha \ x>1\ h'(x),g(x)<0\ \gamma \iota \alpha \ x<1$ και επισης h'(x)=0

ΑΡΑ εμφανιζει ελαχιστο στο χ=1
και αφου η h ειναι η εξισωση του μετρου του μιγαδικου που προερχεται απο καθε σημειο της εικονας της f
προκυπτει και το 2ο

τωρα για το 3ο εμενα μου βγαινει αυθορμητα να πω οτι ειναι η εικονα της $f^{-1}$ με συνολο τιμων[0,3] και πεδιο ορισμου[4,10]

και για το 4ο το οποιο ειναι οντως ωραιο σαν παρατηρηση εχουμε μια $h_{1}=\sqrt{x^2+(f^{-1}(x))^2}$ που ταυτιζει την συμπεριφορα της με την h(x)

γιατι το $x-->f^{-1}(x) \ to \ f(x)-->x$ (--> = αντιστοιχει)

jerrak0s · #3

Το περιοδικό αυτό απο που μπορούμε να το προμηθευτούμε;

G.Tsikaloudakis · #4

Παραθέτω μια πλήρη λύση στο ερώτημα γ.
Έχουμε:

1. $\displaystyle{ z = f(x) + xi{\rm{ }}{\rm{, x}} \in \Delta }$

Δεδομένου ότι ζητάμε γ.τ. ,πρέπει να βρούμε την
σχέση που συνδέει την τετμήμένη του z με την τεταγμένη του.
Θέτουμε:

$\displaystyle{ z = f(\alpha ) + \alpha i{\rm{ }}{\rm{, }}\alpha \in \Delta }$
και

$\displaystyle{ x = f(\alpha ){\rm{ }}{\rm{, y}} = \alpha {\rm{ }},{\rm{ }}\alpha \in \Delta }$

Οπότε έχουμε:

$\displaystyle{ \left. \begin{array}{l} \alpha = f^{ - 1} (x) \\ y = \alpha \\ \alpha \in \Delta \\ \end{array} \right\} \Leftrightarrow \left. \begin{array}{l} y = f^{ - 1} (x) \\ y = \alpha \\ \alpha \in \Delta \\ \end{array} \right\}}$

Επομένως ο γ.τ. της εικόνας του z είναι η καμπύλη
$\displaystyle{ C_{f^{ - 1} } }$ (της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{_{f^{ - 1} } }$ )

2. Το
$\displaystyle{ \left| z \right| }$
αντιστοιχεί στο σημείο της
$\displaystyle{ C_{f^{ - 1} } }$
που είναι πλησιέστερα στην αρχή των αξόνων και επομένως στο σημείο της
$\displaystyle{ C_f }$
που είναι πλησιέστερα στην αρχ'η των αξόνων.
Επόμενως , από το β. ερώτημα προκύπτει ότι
$\displaystyle{ \min \left| z \right| = \min h(x) = OM = \sqrt {37} }$

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ

Re: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ

Μέλη σε σύνδεση