Με απλά υλικά (14)

#1

α) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle g(x)={{e}^{-2x}}-2{{e}^{-x}},x\in R$ .
i) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρεθεί το σύνολο τιμών της .
ii) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής .
iii) Να βρεθεί το εμβαδόν $\displaystyle E(m)$ του χωρίου με σύνορα τη $\displaystyle {{C}_{g}}$ , τον $\displaystyle {x}'x$ και τις ευθείες $\displaystyle x=0,x=m$ .
iv) Να βρείτε το $\displaystyle \underset{m\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,E(m)$

β) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)={{e}^{-2x}}-a{{e}^{-x}},x,a\in R$ .
i) Για ποιες τιμές του $\displaystyle a\in R$ έχει ελάχιστο ;
ii) Αν η $\displaystyle f$ έχει ελάχιστο στο $\displaystyle {{x}_{0}}$ , βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκει το σημείο $\displaystyle A({x_0},f({x_0}))$
iii) Βρείτε την εφαπτομένη της $\displaystyle {{C}_{f}}$ στο σημείο $\displaystyle B(b,f(b))$ και δείξετε ότι διέρχεται από σταθερό σημείο $\displaystyle D$
του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες .
Κατόπιν βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία ανήκει το $\displaystyle D$ , καθώς το $\displaystyle a$ μεταβάλλεται στο $\displaystyle R$ .

Σταμ. Γλάρος · #2

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 14, 2018 1:44 pm
α) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle g(x)={{e}^{-2x}}-2{{e}^{-x}},x\in R$ .
i) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να βρεθεί το σύνολο τιμών της .
ii) Να μελετηθεί ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής .
iii) Να βρεθεί το εμβαδόν $\displaystyle E(m)$ του χωρίου με σύνορα τη $\displaystyle {{C}_{g}}$ , τον $\displaystyle {x}'x$ και τις ευθείες $\displaystyle x=0,x=m$ .
iv) Να βρείτε το $\displaystyle \underset{m\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,E(m)$

β) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)={{e}^{-2x}}-a{{e}^{-x}},x,a\in R$ .
i) Για ποιες τιμές του $\displaystyle a\in R$ έχει ελάχιστο ;
ii) Αν η $\displaystyle f$ έχει ελάχιστο στο $\displaystyle {{x}_{0}}$ , βρείτε τη γραμμή στην οποία ανήκει το σημείο $\displaystyle A({x_0},f({x_0}))$
iii) Βρείτε την εφαπτομένη της $\displaystyle {{C}_{f}}$ στο σημείο $\displaystyle B(b,f(b))$ και δείξετε ότι διέρχεται από σταθερό σημείο $\displaystyle D$
του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες .
Κατόπιν βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία ανήκει το $\displaystyle D$ , καθώς το $\displaystyle a$ μεταβάλλεται στο $\displaystyle R$ .

Καλησπέρα

.Καλησπέρα Γιώργη.
Μια προσπάθεια στο α)
i) Είναι $g' (x)= 2e^{-x}(1-e^{-x})$ , από όπου προκύπτει:
H

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty,0]$ και γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$ .
Επίσης ισχύει $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty }e^{-x}\left (e^{-x}-2 \right )=+\infty$ και $\displaystyle\lim_{x\rightarrow \infty }e^{-x}\left (e^{-x}-2 \right )=0$ .
Άρα $g\left ( (-\infty ,0] \right )=[-1,+\infty )$ και $g\left ( [0, +\infty ) \right )=[-1, 0 )$ .
Τελικά $g(\mathbb{R})=[-1, +\infty )$ .

ii) $g''(x)=4e^{-2x} -2e^{-x}=2e^{-x}(2e^{-x}-1)$ , η οποία μηδενίζεται στο ln2

.
Άρα η

είναι κυρτή στο $(-\infty, ln2]$ και κοίλη στο $[ln2, +\infty)$ .
Έχει σημείο καμπής το $\left ( ln2, -\dfrac{3}{4} \right )$ .

iii) Υποθέτω (λόγω του iv) ότι m>0

. Αφού

, $\forall x\in (0,m)$ ισχύει :
$E(m)=\dislaystyle{ \int_{0}^{m}\left | e^{-2x}-2e^{-x} \right |dx= \int_{0}^{m}\left (2e^{-x} - e^{-2x}\right ) dx} = ...= \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2e^{2m}} - \dfrac{1}{e^{m}}$ .

iv)Από τα παραπάνω προκύπτει : $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty }}E(m)=\frac{3}{2}$ .
Δυστυχώς, τώρα πρέπει να σταματήσω.
Θα επανέλθω αν δεν προλάβει κάποιος άλλος...
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Με απλά υλικά (14)

Με απλά υλικά (14)

Re: Με απλά υλικά (14)

Μέλη σε σύνδεση