Απ' όλα...για προπόνηση

#1

Δίνεται μία συνάρτηση

δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ , για την οποία ισχύει: ${f^3}(x) + 2f(x) = x$ , για κάθε $\displaystyle x \in$ $\mathbb{R}$

Α. Να μελετήσετε την

ως προς την κυρτότητα, και να βρείτε τα σημεία καμπής.

Β. Να βρείτε την εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της

στο σημείο καμπής.

Γ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση

είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την f^-^1

.

Δ. Αν $g(x) = \dfrac{{{f^{ - 1}}(x)}}{{{x^2}}}$ , να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής της παράστασης και το εμβαδόν του χωρίου που

περικλείεται από την C_g

, την ασύμπτωτη στο $\displaystyle + \infty$ και τις ευθείες με εξισώσεις $x = 1,{\rm{ }}x = e$

Τσιαλας Νικολαος · #2

Καλημέρα! Νομίζω ότι η άσκηση θα ήταν υπέροχη για θέμα Β πανελληνίων!

M.S.Vovos · #3

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 07, 2017 10:45 am
Καλημέρα! Νομίζω ότι η άσκηση θα ήταν υπέροχη για θέμα Β πανελληνίων!

Αν υπάρξει κάτι τέτοιο σε θέμα Β, βλέπω να θρηνούμε πολλά θύματα και όχι αδικαιολόγητα.

Φιλικά.

Τσιαλας Νικολαος · #4

M.S.Vovos έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 07, 2017 2:05 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 07, 2017 10:45 am
Καλημέρα! Νομίζω ότι η άσκηση θα ήταν υπέροχη για θέμα Β πανελληνίων!
Αν υπάρξει κάτι τέτοιο σε θέμα Β, βλέπω να θρηνούμε πολλά θύματα και όχι αδικαιολόγητα.

Φιλικά.

Αν δεν μου διαφεύγει κάτι ειναι μια φυσιολογική άσκηση που εξετάζει μέγαλο φάσμα βασικών γνώσεων.. Σε ποιό κομμάτι της βρίσκεται την δυσκολία ώστε να θρηνούμε θύματα??

#5

Η συζήτηση μού κίνησε την περιέργεια.

Αν δεν μού διαφεύγει κάτι, βλέπω ένα όμορφο σωστά δομημένο θέμα που ελέγχει καθαρές γνώσεις, δίχως περιττά κρυφά κολπάκια.

Ίσως ο Μάριος να αναφέρεται στο ότι το ερώτημα Δ απαιτεί την αντίστροφη, η οποία δεν "δίνεται" από τον κατασκευαστή του θέματος.
Νομίζω ότι είναι (νεο)ελληνική πατέντα το να "προσφέρουμε" την απάντηση κάθε ερωτήματος στο αμέσως επόμενο ερώτημα. Αυτό έχει ένα καλό (ας το πούμε...) το ότι ανεξαρτητοποιεί κάθε ερώτημα από το προηγούμενο, αλλά κι ένα κακό, το ότι αλλοιώνεται το διερευνητικό ύφος των θεμάτων, τα οποία μετατρέπονται σε ρουτίνα κατά την οποία οι λύτες πρέπει να καταλήξουν στο προκαθορισμένο αποτέλεσμα του κατασκευαστή. Αν θέλαμε τα ερωτήματα να μην εξαρτώνται, ας δίναμε πιο πολλά και πιο μικρά ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ θέματα διαβαθμισμένης δυσκολίας. Γιατί πρέπει σώνει και καλά να χωρέσουμε τα πάντα σε τρία θέματα;

Α. Παραγωγίζοντας τη σχέση $\displaystyle {f^3}(x) + 2f(x) = x\;\;\;\left( 1 \right)$ έχουμε για κάθε $\displaystyle x \in R$
$\displaystyle 3{f^2}(x) \cdot f'\left( x \right) + 2f'(x) = 1 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{{3{f^2}\left( x \right) + 2}}$ (2).

Παραγωγίζοντας τη σχέση (2) έχουμε, επίσης για κάθε $\displaystyle x \in R$

$\displaystyle f''(x) = {\left( {\frac{1}{{3{f^2}\left( x \right) + 2}}} \right)^\prime } = \frac{{ - 6f\left( x \right)f'\left( x \right)}}{{{{\left( {3{f^2}\left( x \right) + 2} \right)}^2}}}$ (3).

Από τη σχέση (2) έχουμε ότι $\displaystyle f'\left( x \right) > 0$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

Επίσης από τη σχέση (1) έχουμε $\displaystyle f\left( x \right) = \frac{x}{{{f^2}(x) + 2}}$ , οπότε τα f(x)

και

είναι ομόσημα, άρα η εξίσωση f(x) =0

έχει μοναδική ρίζα x = 0

.

Οπότε από την (3) έχουμε f(x)

κυρτή για $\displaystyle x \in \left( { - \infty ,\;0} \right]$ και κοίλη για $\displaystyle x \in \left[ {0,\; + \infty } \right)$ κι έχει σημείο καμπής το x=0

.

Β. Είναι f(0)=0

και $\displaystyle f'\left( 0 \right) = \frac{1}{2}$ , οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης της $\displaystyle {C_f}$ είναι $\displaystyle y = \frac{x}{2}$ .

Γ. Αφού $\displaystyle f'\left( x \right) > 0$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ , η f(x)

είναι γνησίως αύξουσα άρα αντιστρέψιμη.

Έστω $\displaystyle y = f\left( x \right)$ οπότε $\displaystyle {y^3} + 2y = x$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ . Η αντίστροφη συνάρτηση της f(x)

είναι η $\displaystyle {f^{ - 1}}\left( x \right) = {x^3} + 2x,\;\;x \in R$ .

Δ. Είναι $\displaystyle g(x) = \frac{{{f^{ - 1}}(x)}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^3} + 2x}}{{{x^2}}} = x + \frac{2}{x},\;\;x \in R - \{ 0\}$ .

Είναι $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} g\left( x \right) = - \infty ,\;\;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) = + \infty$ , άρα η γραφική παράσταση της g(x)

έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία x=0

.

Είναι $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{g\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \frac{2}{{{x^2}}}} \right) = 1,\;\; = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {g\left( x \right) - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{x} = 0$ ,

άρα η γραφική παράσταση της g(x)

έχει πλάγια ασύμπτωτη στο την ευθεία y=x

.

Ομοίως η γραφική παράσταση της g(x)

έχει πλάγια ασύμπτωτη στο $\displaystyle - \infty$ την ευθεία y=x

.

Είναι $\displaystyle E = \int_1^e {\left| {g\left( x \right) - x} \right|dx} = \int_1^e {\frac{2}{x}dx = 2\left[ {\ln x} \right]_1^e =2 \ln e -2\ln 1 = 2.}$

edit: Συμπληρώνω παρακάτω το ερώτημα (Γ) κατόπιν των παρατηρήσεων του Λάμπρου και του Γιώργη.

Τσιαλας Νικολαος · #6

Κύριε Ρίζο συμφωνώ απόλυτα μαζί σας σε όλα. Ακόμα όμως και στο θέμα της αντίστροφης αν ένας μαθητής δεν μπορεί να βρεί την αντίστροφη σε μια σχέση που είναι λυμένη ως προς χ τότε προφανώς δεν θα μπορεί να λύσει ούτε και την θεωρία!!!

Λάμπρος Μπαλός · #7

Νομίζω θα έπρεπε να γίνει με μεγαλύτερη σαφήνεια η εύρεση της αντίστροφης. Απαιτείται το πεδίο ορισμού της, δηλαδή το σύνολο τιμών της

. Δεν είναι άγνωστο το "πώς" απλώς κάτι τέτοιο δεν θα ήθελα να το δω σε Β θέμα Πανελλαδικών. Εκτός αν χάνω κάτι..

#8

Λάμπρος Μπαλός έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 07, 2017 9:38 pm
Νομίζω θα έπρεπε να γίνει με μεγαλύτερη σαφήνεια η εύρεση της αντίστροφης. Απαιτείται το πεδίο ορισμού της, δηλαδή το σύνολο τιμών της . Δεν είναι άγνωστο το "πώς" απλώς κάτι τέτοιο δεν θα ήθελα να το δω σε Β θέμα Πανελλαδικών. Εκτός αν χάνω κάτι..

Ο Λάμπρος έχει δίκιο φυσικά . Πιστεύω ότι ο Γιώργος ξεχάστηκε , φορτισμένος από τα σχόλια που προηγήθηκαν .
Έχουν γραφτεί πολλά και πολλές φορές για το θέμα αυτό .
Δείγματα εδώ και εδώ

#9

Καλημέρα σε όλους και σάς ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις και τις ενδιαφέρουσες παραπομπές.

Πράγματι, παρέλειψα τη μελέτη του Πεδίου Τιμών της συνάρτησης f(x)

, γιατί μού φάνηκε προφανής η απόδειξη ότι είναι το

. Η αναφορά ότι είναι παραγωγίσιμη διαφοροποιεί κάπως το θέμα από το παρόμοιο της παραπομπής.

Συμπληρώνω την απάντησή μου με μια διαφορετική προσέγγιση στον υπολογισμό του Π.Τ., σε σχέση με την απόδειξη που είναι ΕΔΩ.

Γ. Θα αποδείξουμε ότι το Πεδίο Τιμών της f(x)

είναι το

.

Έστω ότι υπάρχει $\displaystyle k \in R$ για το οποίο είναι $\displaystyle f\left( x \right) \ne k$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

Τότε $\displaystyle {f^3}\left( x \right) + 2f\left( x \right) \ne {k^3} + 2k$ ,(*) άτοπο, αφού για κάθε $\displaystyle x \in R$ είναι $\displaystyle {f^3}(x) + 2f(x) = x$ . Άρα το Πεδίο Τιμών της f(x)

είναι το

.

(*) Για κάθε $\displaystyle a,b \in R$ ισχύει $\displaystyle a \ne b \Rightarrow {a^3} + 2a \ne {b^3} + 2b$ .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:
Είναι $\displaystyle a \ne b$ . Έστω $\displaystyle {a^3} + 2a = {b^3} + 2b$ (1).

(1): $\displaystyle {a^3} - {b^3} + 2\left( {a - b} \right) = 0 \Rightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2} + 2} \right) = 0 \Rightarrow a = b$ , άτοπο.

Τσιαλας Νικολαος · #10

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 08, 2017 9:53 am
Καλημέρα σε όλους και σάς ευχαριστώ για τις παρατηρήσεις και τις ενδιαφέρουσες παραπομπές.

Πράγματι, παρέλειψα τη μελέτη του Πεδίου Τιμών της συνάρτησης , γιατί μού φάνηκε προφανής η απόδειξη ότι είναι το . Η αναφορά ότι είναι παραγωγίσιμη διαφοροποιεί κάπως το θέμα από το παρόμοιο της παραπομπής.

Συμπληρώνω την απάντησή μου με μια διαφορετική προσέγγιση στον υπολογισμό του Π.Τ., σε σχέση με την απόδειξη που είναι ΕΔΩ.

Γ. Θα αποδείξουμε ότι το Πεδίο Τιμών της είναι το .

Έστω ότι υπάρχει $\displaystyle k \in R$ για το οποίο είναι $\displaystyle f\left( x \right) \ne k$ για κάθε $\displaystyle x \in R$ .

Τότε $\displaystyle {f^3}\left( x \right) + 2f\left( x \right) \ne {k^3} + 2k$ ,(*) άτοπο, αφού για κάθε $\displaystyle x \in R$ είναι $\displaystyle {f^3}(x) + 2f(x) = x$ . Άρα το Πεδίο Τιμών της είναι το .

(*) Για κάθε $\displaystyle a,b \in R$ ισχύει $\displaystyle a \ne b \Rightarrow {a^3} + 2a \ne {b^3} + 2b$ .

ΑΠΟΔΕΙΞΗ:
Είναι $\displaystyle a \ne b$ . Έστω $\displaystyle {a^3} + 2a = {b^3} + 2b$ (1).

(1): $\displaystyle {a^3} - {b^3} + 2\left( {a - b} \right) = 0 \Rightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2} + 2} \right) = 0 \Rightarrow a = b$ , άτοπο.

Κύριε Ρίζο καλημέρα. Η παραπάνω λύση σας είναι υπέροχη, αλλά νομίζω ότι δεν θα την έβγαζε ένας μέτριος μαθητής, μιας και μιλάμε για θέμα Β. Οπότε θα αντιπροτείνω την παρακάτω σκέψη-λύση.
Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής σε όλο το R. Επομένως υπάρχει το όριο στο κάθε άπειρο και μέτα από την αρχική σχέση φτάνω στο ζητούμενο παίρνοντας περιπτώσεις για το κάθε όριο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

Σε τέτοιου είδους ασκήσεις μπορεί να προηγηθεί το Γ του Α.

Είναι φανερό ότι $f([0,\infty ))=[0,\infty ),f((-\infty ,0])=(-\infty ,0]$

και αν $h(x)=f^{-1}(x)=x^{3}+2x$

τότε $h([0,\infty ))=[0,\infty ),h((-\infty ,0])=(-\infty ,0]$ .

Επειδή $h(f(x))=x,x\in \mathbb{R}$

παραγωγίζοντας δύο φορές παίρνουμε

$h''(f(x))(f'(x))^{2}+h'(f(x))f''(x)=0$

Ετσι από την κυρτότητα της

βγάζουμε συμπεράσματα για την κυρτότητα της

Μια ακόμα παρατήρηση.

Ετσι όπως έχει δοθεί η συναρτησιακή μπορούμε να βρούμε την

.

Αν όμως δινόταν $f^{5}(x)+2f(x)=x$

τότε δεν αλλάζουν πολλά ,αλλά δεν μπορούμε να δώσουμε τύπο για την

.

Για την αρχική ο τύπος είναι
$f(x)=\sqrt[3]{-\frac{x}{2}+\sqrt{\frac{x^{2}}{4}+\frac{8}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{x}{2}-\sqrt{\frac{x^{2}}{4}+\frac{8}{27}}}$

#12

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 08, 2017 10:34 am

Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής σε όλο το R. Επομένως υπάρχει το όριο στο κάθε άπειρο .......

$\displaystyle f(x) = x\sin x,x \in R$

Τσιαλας Νικολαος · #13

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 08, 2017 11:28 am

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 08, 2017 10:34 am

Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής σε όλο το R. Επομένως υπάρχει το όριο στο κάθε άπειρο .......
$\displaystyle f(x) = x\sin x,x \in R$

Αυτό μου διέφυγε!

Λάμπρος Μπαλός · #14

Φαντάζομαι, αυτό που θέλει να τονίσει ο κύριος Καλαθάκης είναι ότι η δικαιολόγηση απαιτεί αναφορά στη μονοτονία της συνάρτησης. Η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα γι' αυτό το σύνολο τιμών της είναι το $(lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) ,lim_{x \rightarrow + \infty}f(x))$ .
Κατά τα άλλα, όλα μια χαρά.

Ratio · #15

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 07, 2017 9:23 pm
Κύριε Ρίζο συμφωνώ απόλυτα μαζί σας σε όλα. Ακόμα όμως και στο θέμα της αντίστροφης αν ένας μαθητής δεν μπορεί να βρεί την αντίστροφη σε μια σχέση που είναι λυμένη ως προς χ τότε προφανώς δεν θα μπορεί να λύσει ούτε και την θεωρία!!!

Μα αν δεν μπορεί να βρει την αντίστροφη σε μία τέτοια άσκηση έχει λόγο να προσέλθει στις εξετάσεις;

Τσιαλας Νικολαος · #16

margk έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 09, 2017 11:49 am
Όλοι οι μαθητές έχουν λόγο προσέλευσης στις εξετάσεις και όχι μόνο αυτοί που μπορούν να γράψουν άριστα. Κάποιος με βαθμό κάτω της βάσης στα Μαθηματικά μπορεί να μπει σε κάποια σχολή που την επιλέγει για κάποιο δικό του λόγο. Ας μην αποθαρρύνουμε λοιπόν τους μαθητές λέγοντας τους ότι αν δεν μπορείς να λύσεις το τάδε θέμα καλύτερα να μην πας στις εξετάσεις.

Συμφωνώ ότι ο κάθε μαθητής έχει δικαίωμα να προσπαθήσει!!! Αλλωστε είναι παιδιά και δεν υπάρχει χειρώτερο πράγμα από το να κόβεις τα όνειρα τους και τις φιλοδοξίες τους!!!

Απ' όλα...για προπόνηση

Απ' όλα...για προπόνηση

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

Re: Απ' όλα...για προπόνηση

Μέλη σε σύνδεση