Με απλά υλικά

#1

Δίνεται η $\displaystyle{f:R\to R}$ με $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}}$ και έστω $\displaystyle{F}$ μια αρχική της με $\displaystyle{F(0)=0}$ .
α) Να μελετήσετε την $\displaystyle{F}$ ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα
β) Να δείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x<0}$ ισχύει : $\displaystyle{x<F(x)<xf(x)}$
γ) Να δείξετε ότι $\displaystyle{F(\varepsilon \varphi x)=x,\,\,\,\,x\in \left( \frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)}$
δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{F}$ , την εφαπτομένη της στο $\displaystyle{(0,0)}$ και την ευθεία $\displaystyle{x=1}$

Tolaso J Kos · #2

exdx έγραψε:Δίνεται η $\displaystyle{f:R\to R}$ με $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}+1}}$ και έστω $\displaystyle{F}$ μια αρχική της με $\displaystyle{F(0)=0}$ .
α) Να μελετήσετε την $\displaystyle{F}$ ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα
β) Να δείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x<0}$ ισχύει : $\displaystyle{x<F(x)<xf(x)}$
γ) Να δείξετε ότι $\displaystyle{F(\varepsilon \varphi x)=x,\,\,\,\,x\in \left( \frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)}$
δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της $\displaystyle{F}$ , την εφαπτομένη της στο $\displaystyle{(0,0)}$ και την ευθεία $\displaystyle{x=1}$

Γεια σου Γιώργη,

(α) Η

ως αρχική της συνεχούς

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με παράγωγο την

. Επειδή ( τετριμμένα ) είναι f(x)>0

συνάγουμε ότι η

είναι γνήσια αύξουσα. Παραγωγίζοντας ξανά έχουμε ότι $\displaystyle f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$ . Άρα στο

η

παρουσιάζει σημείο καμπής. Επίσης, αφού $f'(x) \leq 0$ για κάθε $x\geq 0$ συνάγουμε ότι η

είναι κοίλη στο $[0, +\infty)$ και κυρτή στο $(-\infty, 0]$ .

(β) Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)=F(x)-x

η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με παράγωγο $\displaystyle g'(x)=-\frac{x^2}{1+x^2} \leq 0$ . Συνεπώς η

είναι γνήσια φθίνουσα. Επίσης g(0)=0

. Άρα για

είναι

συνεπώς

. Όμοια και η άλλη ανισότητα.

Τελικά για κάθε x<0

είναι

.

(γ) Αρκεί να δείξουμε πως η συνάρτηση $h(x)=F(\tan x) - x$ είναι σταθερή στο δοθέν διάστημα. Πράγματι παραγωγίζοντας έχουμε
$\displaystyle{\begin{aligned} h'(x) &= \frac{1}{1+\tan^2 x} \frac{1}{\cos^2 x} - 1 \\ &= \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} - 1\\ &=1 - 1 \\ &= 0 \end{aligned}}$ και επειδή h(0)=0

έχουμε τελικά το ζητούμενο.

(δ) Η εφαπτομένη της $\mathcal{C}_F$ στο σημείο (0, 0)

έχει εξίσωση y = x

. Συνεπώς το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο
$\displaystyle{\displaystyle{\rm E}(\Omega) = \int_0^1 \left| F(x) - x \right| \, {\rm d}x}$ Όμως F(x)<x

για κάθε $x \geq 0$ διότι η

είναι κοίλη στο $[0, \frac{\pi}{2})$ άρα το γράφημά της είναι πάνω από αυτό της εφαπτομένης. Κατά συνέπεια:
$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm E}\left ( \Omega \right ) &=\int_{0}^{1} \left | F(x) - x \right | \, {\rm d}x \\ &= \int_{0}^{1} \left ( x - F(x) \right ) \, {\rm d}x \\ &= \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} F(x) \, {\rm d}x\\ &= \frac{1}{2} - \left [ x F(x) \right ]_0^1 + \int_{0}^{1} \frac{x}{x^2+1} \, {\rm d}x\\ &= \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2+1} \, {\rm d}x \\ &= \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \left [\ln \left ( x^2+1 \right ) \right ]_0^1 \\ &= \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{\ln 2}{2} \end{aligned}}$ διότι το προηγούμενο ερώτημα για $x=\frac{\pi}{4}$ δίδει $F(1)=\frac{\pi}{4}$ .

Με απλά υλικά

Με απλά υλικά

Re: Με απλά υλικά

Μέλη σε σύνδεση