Oλα

erxmer · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:

$2-{f}'\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}={f}'\left( x \right){{e}^{-f\left( x \right)}}~~~,~~~\forall x\in \mathbb{R}~~~~~~\kappa \alpha \iota ~~~~f\left( 0 \right)=0~.$

1. Δείξτε ότι η ${{C}_{f}}$ έχει μοναδικό σημείο καμπής και προσδιορίστε τα διαστήματα στα οποία η

είναι κυρτή ή κοίλη.

2. Βρείτε τον τύπο της

.

3. Υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την ${{C}_{f}}$ , την διχοτόμο του πρώτου τεταρτημόριου και τις ευθείες x=0,~~~x=1

.

Tolaso J Kos · #2

erxmer έγραψε:Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ για την οποία ισχύουν:

$2-{f}'\left( x \right){{e}^{f\left( x \right)}}={f}'\left( x \right){{e}^{-f\left( x \right)}}~~~,~~~\forall x\in \mathbb{R}~~~~~~\kappa \alpha \iota ~~~~f\left( 0 \right)=0~.$

1. Δείξτε ότι η ${{C}_{f}}$ έχει μοναδικό σημείο καμπής και προσδιορίστε τα διαστήματα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη.

2. Βρείτε τον τύπο της .

3. Υπολογίστε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την ${{C}_{f}}$ , την διχοτόμο του πρώτου τεταρτημόριου και τις ευθείες .

(α) Εφόσον ισχύει η σχέση
$\displaystyle{2 - f'(x) e^{f(x)} = f'(x) e^{-f(x)}}$ συμπεραίνουμε ότι η

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη. Παραγωγίζοντας βγάζουμε
$\displaystyle{\left ( f'(x) \right )^2 \left ( e^{-f(x)} - e^{f(x)} \right ) = f''(x) \left ( e^{-f(x)} + e^{f(x)} \right ) \iff f''(x) = \frac{\left ( f'(x) \right )^2 \left ( e^{-f(x)} - e^{f(x)} \right )}{e^{f(x)} +e^{-f(x)}}}$ Ο παρανομαστής είναι τετριμμένα θετικός ενώ ο αριθμητής μηδενίζει στο

. Τώρα
$\displaystyle{\begin{aligned} f''(x) \geq 0 &\Leftrightarrow e^{-f(x)} - e^{f(x)}\geq 0 \\ &\Leftrightarrow e^{-f(x)} \geq e^{f(x)} \\ &\Leftrightarrow e^{-2f(x)} \geq 1 \\ &\Leftrightarrow -2 f(x) \geq 0 \\ &\Leftrightarrow f(x) \leq 0 \\ &\Leftrightarrow x \leq 0 \end{aligned}}$ διότι από τη δοσμένη σχέση έχουμε
$\displaystyle{\begin{aligned} f'(x) \left ( e^{f(x)} + e^{-f(x)} \right ) =2 &\Leftrightarrow f'(x) = \frac{2}{e^{f(x)} + e^{-f(x)}} \\ &> 0 \end{aligned}}$ δηλ. η

είναι γνήσια αύξουσα. Συνεπώς για $x\geq 0$ είναι $f(x) \geq 0$ ενώ για x<0

είναι $f(x) \leq 0$ . Κατά συνέπεια η

έχει σημείο καμπής στο

, είναι κυρτή στο $(-\infty, 0]$ και κοίλη στο $[0, +\infty)$ .

(β) Έχουμε διαδοχικά:
$\displaystyle{\begin{aligned} f'(x) \left ( e^{f(x)} + e^{-f(x)} \right )=2 &\Leftrightarrow \left ( e^{f(x)} - e^{-f(x)} \right )' = \left ( 2x \right )' \\ &\Rightarrow e^{f(x)} - e^{-f(x)} = 2x + c \\ &\!\!\!\!\!\!\! \!\!\!\!\overset{f(0)=0 \Rightarrow c =0}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! \Rightarrow} e^{f(x)} - e^{-f(x)} = 2x \\ &\Rightarrow e^{2f(x)} - 1 = 2x e^{f(x)} \\ &\Rightarrow e^{2f(x)} - 2x e^{f(x)} - 1 =0 \\ &\Rightarrow e^{f(x)} = \frac{2x + \sqrt{4x^2+4}}{2} \\ &\Rightarrow e^{f(x)} = \frac{2x + 2\sqrt{x^2+1}}{2} \\ &\Rightarrow e^{f(x)} = x + \sqrt{x^2+1} \\ &\Rightarrow f(x) = \ln \left ( x + \sqrt{x^2+1} \right ) \quad , \quad x \in \mathbb{R} \end{aligned}}$ διότι η ποσότητα $x-\sqrt{x^2+1}$ είναι αρνητική για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

(γ) Στο [0, 1]

η συνάρτησή μας είναι μεγάλυτερη ή ίση του

. Οπότε το εμβαδόν που περικλείεται της γραφικής παράστασης της

, του άξονα x'x

και των ευθειών x=0

και

είναι ίσο με
$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm E}\left ( \Omega \right ) &= \int_{0}^{1} \ln \left ( x + \sqrt{x^2+1} \right ) \, {\rm d}x \\ &= \left [ x \ln \left ( x + \sqrt{x^2+1} \right ) \right ]_0^1 - \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \, {\rm d}x \\ &= \ln \left ( 1+\sqrt{2} \right ) - \left [ \sqrt{x^2+1} \right ]_0^1 \\ &= \ln \left ( 1+\sqrt{2} \right ) - \sqrt{2} +1 \\ &= 1 - \sqrt{2} + \ln \left ( 1+\sqrt{2} \right ) \approx 0.46716 \end{aligned}}$ Edit: Φεβρουάριος 17, 2017

Το τελευταίο ερώτημα δε ζητάει αυτό που υπολόγισα. Ζητάει κάτι άλλο. Η συνάρτηση

είναι κοίλη στο $[0, +\infty)$ και η εφαπτομένη στο σημείο x_0=0

είναι η ευθεία y=x

. Κατά συνέπεια η εφαπτομένη θα είναι πάνω από το γράφημα της

άρα το εμβαδόν (που αρχικά ζητείτο) θα είναι ίσο με
$\displaystyle{\begin{aligned} {\rm E}\left ( \Omega \right ) &=\int_{0}^{1} \left | f(x) -x \right | \, {\rm d}x \\ &=\int_{0}^{1} \left ( x - f(x) \right ) \, {\rm d}x \\ &=\int_{0}^{1} \left [ x - \ln \left ( x + \sqrt{x^2+1} \right ) \right ] \, {\rm d}x \\ &= \sqrt{2} - \frac{1}{2} - \ln \left ( 1+ \sqrt{2} \right ) \approx 0.0328399 \end{aligned}}$ $\mathfrak{mea \; culpa}$

Oλα

Oλα

Re: Oλα

Μέλη σε σύνδεση