Επαναληπτική άσκηση

Giorgos S · #1

Έστω παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb R$ , για τις οποίες ισχύει ότι:

$\displaystyle {f(x)=\begin{cases} \frac{f(0)\int_{0}^{x}{g(t)dt}-2x}{x} ,& x>0 \\ g(0) ,& x=0 \end{cases}}$ .

Επιπλέον γνωρίζουμε ότι οι f,g

είναι γνησίως αύξουσες στο $[0,+\infty)$ και ότι $f'(x) \leq 2 , x \in [0,+\infty)$ .

Να αποδείξετε ότι:

.

υπάρχει μοναδικό $\xi \in (0,1)$ , τέτοιο ώστε: $\displaystyle \int_{0}^{\xi}{f(t)dt}=(1-\xi)f(\xi)+\frac{3}{2}$ .

iii)

αν $f(x)=g(x) , x \in [0.+\infty)$ , τότε f(x)=g(x)=2+cx

, όπου $x \in [0,+\infty)$ και $c \leq 2$ .

#2

Giorgos S έγραψε:Έστω παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb R$ , για τις οποίες ισχύει ότι:

$\displaystyle {f(x)=\begin{cases} \frac{f(0)\int_{0}^{x}{g(t)dt}-2x}{x} ,& x>0 \\ g(0) ,& x=0 \end{cases}}$ .

Επιπλέον γνωρίζουμε ότι οι είναι γνησίως αύξουσες στο $[0,+\infty)$ και ότι $f'(x) \leq 2 , x \in [0,+\infty)$ .

Να αποδείξετε ότι:

.

υπάρχει μοναδικό $\xi \in (0,1)$ , τέτοιο ώστε: $\displaystyle \int_{0}^{\xi}{f(t)dt}=(1-\xi)f(\xi)+\frac{3}{2}$ .

αν $f(x)=g(x) , x \in [0.+\infty)$ , τότε , όπου $x \in [0,+\infty)$ και $c \leq 2$ .

Καλημέρα,

Θα απαντήσω στο $\displaystyle{(iii)}$ ερώτημα (με δεδομένο το $\displaystyle{(i)}$ :

$\displaystyle{f(x) = \frac{{f(0)\int_0^x {g(t)dt - 2x} }}{x} \Leftrightarrow xf(x) = f(0)\int_0^x {g(t)dt - 2x} }$

Παραγωγίζω: $\displaystyle{f(x) + xf'(x) = 2g(x) - 2\mathop = \limits^{f(x) = g(x)} 2f(x) - 2}$ .

Άρα, $\displaystyle{xf'(x) - f(x) = - 2\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \ne 0} \frac{{xf'(x) - f(x)}}{{{x^2}}} = - \frac{2}{{{x^2}}}}$

$\displaystyle{{\left( {\frac{{f(x)}}{x}} \right)^\prime } = {\left( {\frac{2}{x}} \right)^\prime } \Rightarrow \frac{{f(x)}}{x} = \frac{2}{x} + c \Leftrightarrow f(x) = 2 + cx}$ , $\displaystyle{x \ne 0}$ .

Επειδή όμως $\displaystyle{f'(x) \le 2 \Leftrightarrow c \le 2}$ .
Για τον υπολογισμό του τύπου της συνάρτησης υπέθεσα ότι $\displaystyle{x \ne 0}$ . Είναι όμως $\displaystyle{f(0) = 2}$ .
Επομένως ο τύπος της συνάρτησης είναι: $\displaystyle{f(x) = 2 + cx}$ , $\displaystyle{c \le 2}$ για κάθε $\displaystyle{x \in [0, + \infty )}$ .

(Θα επανέλθω για τα άλλα ερωτήματα, αν δεν με προλάβει άλλος).

Γιώργος.

Giorgos S · #3

Επαναφορά...

Giorgos S · #4

Προσέθεσα ένα ακόμα ζητούμενο στο πρώτο ερώτημα...

Giorgos S έγραψε:Έστω παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb R$ , για τις οποίες ισχύει ότι:

$\displaystyle {f(x)=\begin{cases} \frac{f(0)\int_{0}^{x}{g(t)dt}-2x}{x} ,& x>0 \\ g(0) ,& x=0 \end{cases}}$ .

Επιπλέον γνωρίζουμε ότι οι είναι γνησίως αύξουσες στο $[0,+\infty)$ και ότι $f'(x) \leq 2 , x \in [0,+\infty)$ .

Να αποδείξετε ότι:

και $2<f(1) \leq 4$ .

υπάρχει μοναδικό $\xi \in (0,1)$ , τέτοιο ώστε: $\displaystyle \int_{0}^{\xi}{f(t)dt}=(1-\xi)f(\xi)+\frac{3}{2}$ .

αν $f(x)=g(x) , x \in [0.+\infty)$ , τότε , όπου $x \in [0,+\infty)$ και $c \leq 2$ .

Η

είναι παραγωγίσιμη στο $[0,+\infty)$ , άρα και συνεχής στο $[0,+\infty)$ .

Επομένως θα ισχύει ότι: $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}f(x)=\lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)$ $\Rightarrow$ $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(0)\int_{0}^{x}{g(t)dt}-2x}{x}=f(0)$ .

Όμως στο $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(0)\int_{0}^{x}{g(t)dt}-2x}{x}$ έχουμε απροσδιοριστία της μορφής $\displaystyle \frac{0}{0}$ , οπότε από DLH, προκύπτει ότι:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(0)\int_{0}^{x}{g(t)dt}-2x}{x}=\lim_{x \rightarrow 0}f(0)g(x)-2$ .

Άρα: $\displaystyle f^2(0)-2=f(0) \Rightarrow f(0)=-1$ ή f(0)=2

.

Παραγωγίζουμε την

για

και έχουμε:

$\displaystyle f'(x)= f(0)\frac{(g(x)x-\int_{0}^{x}{g(t)dt})}{x^2}$ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση: $\displaystyle h(x)=g(x)x-\int_{0}^{x}{g(t)dt}, x>0$ . Η

είναι παραγωγίσιμη στο $(0,+\infty)$ , με h'(x)=g'(x)x , x>0

.

Η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$ , άρα $g'(x) \geq 0 , x \in [0,+\infty)$ . Επομένως $h'(x) \geq 0 , x>0$ και η

γνησίως αύξουσα στο $(0,+\infty)$ .

Άρα: $\displaystyle x>0 \Rightarrow h(x)>h(0) \Rightarrow g(x)x-\int_{0}^{x}{g(t)dt}>0$ .

Η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$ , οπότε $f'(x) \geq 0 , x \in [0,+\infty)$ . Επομένως f(0)=2

, διότι αν f(0)=-1

, τότε $f'(x) \leq 0 , x>0$ , άτοπο.

Ειδικότερα παρατηρούμε ότι για x>0

ισχύει ότι f'(x)>0

.

Η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,+\infty)$ , οπότε εύκολα προκύπτει ότι: $f(x) \geq 2 , x \in [0,+\infty)$ .

Θεωρούμε τη συνάρτηση: $\displaystyle \varphi(x)=f(x)-2x , x \in [0,+\infty)$ . Η $\varphi$ είναι παραγωγίσιμη στο $[0,+\infty)$ , με $\varphi'(x)=f'(x)-2 \leq 0$ , άρα η $\varphi$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $[0,+\infty)$ .

Δηλαδή: $x \geq 0 \Rightarrow \varphi(x) \leq \varphi(0)$ $\Rightarrow$ $f(x)-2x \leq 2 \Rightarrow f(x) \leq 2+2x$ .

Επομένως $2<f(1) \leq 4$ .

ii)

Αφού $f(x) \geq 2 , x \in [0.+\infty)$ , θα έχουμε και ότι: $\displaystyle \int_{0}^{x}{f(t)dt} \geq 2x , x \in [0.+\infty)$ .

Επομένως $\displaystyle \int_{0}^{1}{f(t)dt} \geq 2$

.

Θεωρούμε τη συνάρτηση: $\displaystyle \varrho(x)= \int_{0}^{x}{f(t)dt}-(1-x)f(x)-\frac{3}{2} , x \in [0,1]$ .

Η $\varrho$ είναι συνεχής στο [0,1]

.

Επίσης:

$\displaystyle \varrho(0)=-f(0)-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}<0$ .

$\displaystyle \varrho(1)= \int_{0}^{1}{f(t)dt}-\frac{3}{2}>0$ , λόγω

.

Άρα: $\varrho(0) \varrho(1)<0$ .

Οπότε από θ.Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (0,1)$ , τέτοιο ώστε: $\displaystyle \int_{0}^{\xi}{f(t)dt}=(1-\xi)f(\xi)+\frac{3}{2}$ .

Η $\varrho(x)$ είναι παραγωγίσιμη στο [0,1]

, με $\varrho'(x)=2f(x)-f'(x)+f'(x)x$ .

Προφανώς $\varrho'(x) \geq 0$ , αφού $2f(x) \geq 4$ και $0 \leq f'(x) \leq 2$ .

Άρα η $\varrho$ είναι γνησίως αύξουσα στο [0,1]

, οπότε το $\xi$ που βρήκαμε είναι μοναδικό.

Επαναληπτική άσκηση

Επαναληπτική άσκηση

Re: Επαναληπτική άσκηση

Re: Επαναληπτική άσκηση

Re: Επαναληπτική άσκηση

Μέλη σε σύνδεση