ΘΕΜΑ Δ

ΔΟΥΣΚΟΣ ΘΑΝΟΣ · #1

...μία προσωπική δημιουργία γιά τις εξετάσεις...

Έστω η συνάρτηση $f:(0,\,\,+\infty )\to R$ που είναι συνεχής ώστε να ισχύει $\int\limits_{1}^{x}{\frac{{{e}^{t}}-t}{{{t}^{2}}}dt}=\underset{t\to x}{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{x}^{t}{\frac{f(u)}{t-x}du},\,\,\,\,\,\,x>0$

Δ1. Να δείξετε ότι ${{e}^{x}}\ge x+1,\,\,\,\,x\in R$ .

Δ2. Να δειχθεί ότι η

είναι παραγωγίσιμη και να βρεθεί η {f}'

.

Δ3. Να αποδειχθεί ότι η

έχει μοναδικό σημείο καμπής με τετμημένη στο $(1,\,\,2)$ .

Δ4. Να μελετηθεί η

ως προς την μονοτονία της και να βρεθεί το σύνολο τιμών της .

Δ5. Δείξτε ότι υπάρχει μοναδικό $\xi >1$ ώστε να ισχύει $\int\limits_{1}^{\xi }{\frac{{{e}^{t}}-t}{{{t}^{2}}}dt}=2013$ .

Δ6. Δείξτε ότι υπάρχει $\kappa <\xi$ ώστε να ισχύει ${{e}^{\kappa }}-\kappa =\frac{2013{{\kappa }^{2}}}{\xi -1}$

Θάνος

#2

Διόρθωση: Λαναθασμένα το πρωϊ νόμιζα πως δεν εφαρμόζεται ο Del'Hospital σύμφωνα με αυτά που δίνονται. Επομένως δεν έχει κανένα νόημα ύπαρξης στην κουβέντα αυτό που ρωτούσα και το έσβησα.

dennys · #3

Δ1) απλό με πολλούς τρόπους η απόδειξη

Δ2) Το όριο βγαίνει με Λοπιτάλ $\displaystyle f(x)\Rightarrow \int_1^{x}\cfrac{e^{t}-t}{t^2}dt=f(x)$

Ετσι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με $f{'}(x)=\cfrac{e^{x}-x}{x^2}>0$

Δ3) $f{'}{'}(x)=\cfrac{(x-2)e^{x}+x}{x^3}=\cfrac{h(x)}{x^3}$

και μελέτη της

δίνει ότι

κοίλη στο

και κυρτή στο $[x_o,+\infty)$ οπου το x_o: h(x_o)=0

απο Μπολτζάνο

Δ4)είναι γν.αύξουσα και με όρια και εφαπτομένη στο a>x_o

π.χ. $f(x)\ge f{'}(a)(x-a)+f(a)\rightarrow +\infty\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$

αφου είναι κυρτή στο $[x_o,+\infty)$

Δ5) Απο το πεδίο τιμών επειδή $2013 \in f(A)\Rightarrow$ υπάρχει ενα τουλάχιστον $\xi: f(\xi)=2013$

Δ6) με Θ.Μ.Τ. στο $[1,\xi]$ και το Δ5 ,αρα υπάρχει $k\in(1,\xi): ..f{'}(k)=\cfrac{f(\xi)-f(1)}{\xi-1}\Rightarrow \cfrac{e^{k}-k}{k^2}=\cfrac{f(\xi)}{\xi-1}$

$=2013/(\xi-1)$
Σχετικά με το πεδίο τιμών πρέπει να δώσει κάτι επιπλέον για βοήθεια.

#4

Για το όριο στο 0, χρησιμοποιούμε το Δ1...

dennys · #5

Kαι εγω έτσι το έκανα Θανάση .Θα το δώσω μετά αν δεν το γράψεις ,λόγω μαθήματος.

Διονυσης

parmenides51 · #6

dennys έγραψε:Δ1) απλό με πολλούς τρόπους η απόδειξη

Δ2) Το όριο βγαίνει με Λοπιτάλ $\displaystyle f(x)\Rightarrow \int_1^{x}\cfrac{e^{t}-t}{t^2}dt=f(x)$

Ετσι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη με $f{'}(x)=\cfrac{e^{x}-x}{x^2}>0$

Δ3) $f{'}{'}(x)=\cfrac{(x-2)e^{x}+x}{x^3}=\cfrac{h(x)}{x^3}$

και μελέτη της δίνει ότι κοίλη στο

και κυρτή στο $[x_o,+\infty)$ οπου το απο Μπολτζάνο

Δ4)είναι γν.αύξουσα και με όρια και εφαπτομένη στο π.χ. $f(x)\ge f{'}(a)(x-a)+f(a)\rightarrow +\infty\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$

αφου είναι κυρτή στο $[x_o,+\infty)$

Δ5) Απο το πεδίο τιμών επειδή $2013 \in f(A)\Rightarrow$ υπάρχει ενα τουλάχιστον $\xi: f(\xi)=2013$

Δ6) με Θ.Μ.Τ. στο $[1,\xi]$ και το Δ5 ,αρα υπάρχει $k\in(1,\xi): ..f{'}(k)=\cfrac{f(\xi)-f(1)}{\xi-1}\Rightarrow \cfrac{e^{k}-k}{k^2}=\cfrac{f(\xi)}{\xi-1}$

$=2013/(\xi-1)$
Σχετικά με το πεδίο τιμών πρέπει να δώσει κάτι επιπλέον για βοήθεια.

μια πρόταση

μιας και μια από τις καλυτερες στιγμές του

ήταν τα περσινά φυλλάδια των Μαθηματικών Γενικής και Κατεύθυνσης από ασκήσεις προταθείσες και λυμένες στο

καλυτερα να δίνετε αναλυτικές λύσεις ώστε να μπορέσουμε να ετοιμάσουμε κάποια στιγμή και κανένα φυλλάδιο με λυμένες ασκήσεις από τις ήδη υπάρχουσες στο

μιας και δεν νομίζω πως θα ήταν ιδιαίτερα όμορφο να ετοιμάζαμε φυλλάδιο με λύσεις σαν την παραπάνω
μπορούμε όχι ιδιαίτερα δύσκολα να ετοιμάσουμε φυλλάδια σαν αυτά εδώ στο aops

για ένα τέτοιο φυλλάδιο χρειάζονται οι εξής δουλειές:
α) επιλογή των ασκήσεων
β) μετατροπή latex σε word
γ) επεξεργασία μορφοποιήσεων για λόγους ομοιομορφίας

χωρίς λύσεις δεν θέλει και πολύ χρόνο να ετοιμαστεί, αρκεί να κάνει κάποιος την δύσκολη δουλειά της επιλογής των ασκήσεων
και οι περισσότερες παλιές ασκήσεις δυστυχώς έχουν αποσπασματικές λύσεις είτε υποδείξεις
με λύσεις όμως, θα πρέπει να είναι αναλυτικές ώστε να βγεί ένα ωραίο αποτέλεσμα
υπάρχει αρκετά μεγάλη ποικιλία ασκήσεων αλλά δεν είναι εύκολα αξιοποιήσιμη
στο χέρι μας είναι να διευκολύνουμε όποιον θέλει να ετοιμάσει ένα τέτοιο φυλλάδιο
άλλωστε από τέτοια φυλλάδια ωφελούμαστε όλοι

είτε είναι φυλλάδιο με λύσεις είτε είναι φυλλάδιο χωρίς λύσεις

φιλικά

Christos75 · #7

Ωραίο θεματάκι Θάνο. Ελπίζουμε και σε άλλα στο εγγύς μέλλον...

ΘΕΜΑ Δ

ΘΕΜΑ Δ

Re: ΘΕΜΑ Δ

Re: ΘΕΜΑ Δ

Re: ΘΕΜΑ Δ

Re: ΘΕΜΑ Δ

Re: ΘΕΜΑ Δ

Re: ΘΕΜΑ Δ

Μέλη σε σύνδεση