Μια συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

dennys · #2

To ολοκλήρωμα γίνεται $I=\int_{0}^{\pi}(f(x)sinx+f{'}(x)cosx-f{'}(x)cosx+f{'}{'}(x)sinx)dx=$

$=\int_{0}^{\pi}[-(f(x)cosx){'}+(f{'}(x)sinx){'}]dx=f(\pi)+f(0)$

2)Με άτοπο αν είναι $f(x)+f{'}{"}(x)<0, \forall x\in [0,\pi]$ με ολοκλήρωση ...ατοπο αφού $I=f(0)+f(\pi)>0$

#3

orestisgotsis έγραψε:Μία συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\left[ 0,\pi \right]$ και η $\displaystyle{{{f}'}'}$ είναι συνεχής σ’ αυτό.

1) Να βρείτε το $\displaystyle{I=\int\limits_{0}^{\pi }{\left[ f(x)+{{f}'}'(x) \right]\sin xdx}}$ .

2) Έστω ακόμα ότι $\displaystyle{f(x)>0,\,\,\,\forall \,x\in \left[ 0,\pi \right]}$ . Να δείξετε ότι, υπάρχει $\displaystyle{\xi \in \left[ 0,\pi \right]}$ με $\displaystyle{f(\xi )+{{f}'}'(\xi )>0}$ .

Με κατά παράγοντες έχουμε

$\displaystyle{ \int _{0}^{\pi }{f''(x) \sin x\,dx}= \left [f'(x)\sin x \right ]_0^{\pi} - \int _0^{\pi} f' (x) \cos x \, dx}$

$=\displaystyle{ 0 - \left ( \left [ f(x) \cos x \right ]_0^{\pi} +\int _0^{\pi} f (x) \sin x \, dx \right)= f(\pi) + f(0)-\int _0^{\pi} f (x) \sin x \, dx }$ .

Άρα $\displaystyle{I = f(\pi) +f(0)}$ .

2) Από το προηγούμενο είναι I >0

, οπότε δεν μπορεί να είναι η προς ολοκλήρωση συνάρτηση να είναι $\displaystyle{\le 0}$ παντού στο εσωτερικό του διαστήματος ολοκλήρωσης (γνωστή πρόταση). Άρα υπάρχει $\xi \in (0, \, \pi)$ με $\displaystyle{(f(\xi) + f''(\xi)) \sin \xi >0}$ , από όπου το ζητούμενο αφού το ημίτονο είναι γνήσια θετικό εκεί.

Φιλικά,

Μιχάλης

Μια συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη

Μια συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη

Re: Μια συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη

Re: Μια συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη

Μέλη σε σύνδεση