Μέγιστη τιμή

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

tolis riza · #2

#3

orestisgotsis έγραψε:Αν ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1,\,\,\,x,\,y,\,a,\,b\,>0$ , να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

Είναι άμεσο από την ανισότητα Cauchy-Schwarz:

$\displaystyle{ ax+by\leq \sqrt{a^2+b^2}}$ , με την ισότητα να ισχύει όταν

$\displaystyle{x=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},y=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

tolis riza · #4

Μια λύση με μιγαδικούς:
Θέτουμε :
$z = x + yi\mathop {}\limits^{} \mathop {}\limits^{} , w = {a \over 2} + {b \over 2}i$
και έχουμε:

A = ax + by = x^2 + y^2 + ax + by - 1 =

$= \left( {x + {a \over 2}} \right)^2 + \left( {y + {b \over 2}} \right)^2 - {{a^2 + b^2 } \over 4} - 1 =$

$|z + w|^2 - {{a^2 + b^2 } \over 4} - 1 \le \left( {\sqrt {{{a^2 + b^2 } \over 4}} + 1} \right)^2 - {{a^2 + b^2 } \over 4} - 1 = \sqrt {a^2 + b^2 }$

parmenides51 · #5

Ας το δούμε και με διανύσματα

orestisgotsis έγραψε:Αν ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1,\,\,\,x,\,y,\,a,\,b\,>0$ , να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης

έστω $\displaystyle{\overrightarrow u =(a,b),\overrightarrow v =(x,y)}$

προφανώς $\displaystyle{ \left| \overrightarrow v \right|=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=1}$

ξέρουμε πως $\displaystyle{\left| {\overrightarrow u \overrightarrow u } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow v } \right| }$ με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle{\overrightarrow u \uparrow \uparrow \overrightarrow v}$

άρα $\displaystyle{A\le \left|A\right| =|ax+by|=|\overrightarrow u \overrightarrow v |\le \left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow v } \right|=\left| {\overrightarrow u } \right|\cdot 1=\left| {\overrightarrow u } \right|=\sqrt{a^{2}+{b}^{2}}}$

συνεπώς η μέγιστη τιμή του $\displaystyle{A}$ είναι $\displaystyle{\sqrt{a^{2}+{b}^{2}}}$

με το ίσον να ισχύει όταν $\displaystyle{(x,y)=\lambda (a,b)}$ με $\displaystyle{\lambda >0}$ καθώς $\displaystyle{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1}$

Μέγιστη τιμή

Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Re: Μέγιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση