Ισότητα ολοκληρωμάτων

nikos_el · #1

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,+\infty\right)$ τέτοια, ώστε $\displaystyle \int_0^1f\left(x\right)dx=\int_0^1xf\left(x\right)dx=\int_0^1x^2f\left(x\right)dx=1$ .

Η λύση:
Γενικά, αποδεικνύεται ότι, αν $f:\left[a,b\right]\rightarrow\left[0,+\infty)$ συνεχής συνάρτηση, ισχύει η ισοδυναμία: $\displaystyle \left(f\left(x\right)=0, \forall x\in\left[a,b\right]\right)\Leftrightarrow \int_a^bf\left(x\right)dx=0$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ (1)

.
Έστω ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Έχουμε: $\displaystyle \int_0^1f\left(x\right)dx=\int_0^1xf\left(x\right)\Leftrightarrow \int_0^1\left(f\left(x\right)-xf\left(x\right)\right)dx=0\overset{(1)}{\Leftrightarrow} f\left(x\right)\left(1-x\right)=0, \forall x\in\left[0,1\right]$ . Όμως, x-1=0

, μόνο για x=1

, οπότε θα πρέπει $f\left(x\right)=0, \forall x\in\left[0,1\right)$ . Τότε, θα ισχύει: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=0$ και αφού η

είναι συνεχής, ισχύει: $f\left(1\right)=0$ , δηλαδή $f\left(x\right)=0, \forall x\in\left[0,1\right]$ . Είναι: $\displaystyle \int_0^1f\left(x\right)dx=0$ , άτοπο. Άρα, δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Υπάρχει κάποιο λάθος στη λύση ή το τρίτο ολοκήρωμα της εκφώνησης ( $\displaystyle \int_0^1 x^2f\left(x\right)dx$ ) είναι περιττό ως δεδομένο;

stranger · #2

Η απόδειξη σου είναι σωστή.Το μόνο που χρειάζεται ως δεδομένο για την άσκηση είναι $\int_{0}^{1}f(x)dx = \int_{0}^{1}xf(x)dx \neq 0$ .

Λάμπρος Κατσάπας · #3

nikos_el έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 08, 2019 5:43 pm
Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:\left[0,1\right]\rightarrow\left[0,+\infty\right)$ τέτοια, ώστε $\displaystyle \int_0^1f\left(x\right)dx=\int_0^1xf\left(x\right)dx=\int_0^1x^2f\left(x\right)dx=1$ .

Η λύση:
Γενικά, αποδεικνύεται ότι, αν $f:\left[a,b\right]\rightarrow\left[0,+\infty)$ συνεχής συνάρτηση, ισχύει η ισοδυναμία: $\displaystyle \left(f\left(x\right)=0, \forall x\in\left[a,b\right]\right)\Leftrightarrow \int_a^bf\left(x\right)dx=0$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$ .
Έστω ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Έχουμε: $\displaystyle \int_0^1f\left(x\right)dx=\int_0^1xf\left(x\right)\Leftrightarrow \int_0^1\left(f\left(x\right)-xf\left(x\right)\right)dx=0\overset{(1)}{\Leftrightarrow} f\left(x\right)\left(1-x\right)=0, \forall x\in\left[0,1\right]$ . Όμως, , μόνο για , οπότε θα πρέπει $f\left(x\right)=0, \forall x\in\left[0,1\right)$ . Τότε, θα ισχύει: $\displaystyle \lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=0$ και αφού η είναι συνεχής, ισχύει: $f\left(1\right)=0$ , δηλαδή $f\left(x\right)=0, \forall x\in\left[0,1\right]$ . Είναι: $\displaystyle \int_0^1f\left(x\right)dx=0$ , άτοπο. Άρα, δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Υπάρχει κάποιο λάθος στη λύση ή το τρίτο ολοκήρωμα της εκφώνησης ( $\displaystyle \int_0^1 x^2f\left(x\right)dx$ ) είναι περιττό ως δεδομένο;

Την

μπορείς να τη δεις σαν συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας μιας συνεχούς τ.μ. .

Από τις υποθέσεις παίρνεις διασπορά μηδέν το οποίο μπορεί να συμβαίνει μόνο αν η τ.μ. είναι σταθερή εκτός

ίσως από ένα σύνολο μέτρου μηδέν. Τα παραπάνω δείχνουν ότι η άσκηση μπορεί να σταθεί σε ένα γενικότερο πλαίσιο. Συγνώμη τώρα είδα ότι είμαστε σε λυκειακό φάκελο

stranger · #4

Αν ξεφύγουμε από τα μαθηματικά του λυκείου λιγο,τότε η υπόθεση να είναι συνεχής η συνάρτηση δεν χρειάζεται.Αρκεί να είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη και το συμπέρασμα ισχύει πάλι.

Christos.N · #5

Μήπως διορθώνει έτσι την εκφώνηση;

Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση $f:\left[0,2\right]\rightarrow\left[0,+\infty\right)$ τέτοια, ώστε $\displaystyle \int_0^2f\left(x\right)dx=\int_0^2xf\left(x\right)dx=\int_0^2x^2f\left(x\right)dx=1$ .

sot arm · #6

Μπορούμε να γενικεύσουμε κάπως, έστω:

$0\leq a\leq 1$ να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις:
$\displaystyle{f:[0,1]\rightarrow [0,+\infty)}$ έτσι ώστε:

$\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx=1}$
$\displaystyle{\int_{0}^{1}xf(x)dx=a}$
$\displaystyle{\int_{0}^{1}x^{2}f(x)dx=a^{2}}$

Το παραπάνω είναι προφανώς εφαρμογή για a=1

, απλά έτσι έχει νόημα και η τρίτη συνθήκη.

#7

sot arm έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 09, 2019 1:38 pm

$0\leq a\leq 1$ να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις:
$\displaystyle{f:[0,1]\rightarrow [0,+\infty)}$ έτσι ώστε:

$\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx=1}$
$\displaystyle{\int_{0}^{1}xf(x)dx=a}$
$\displaystyle{\int_{0}^{1}x^{2}f(x)dx=a^{2}}$

Για συναρτήσεις που συναντάμε στην Γ Λυκείου (εντός φακέλου δηλαδή).

${\int_{0}^{1}(a-x)^2f(x)dx=... = a^2\cdot 1 - 2a\cdot a + a^2 =0$ οπότε (απλό) f(x)=0

για κάθε $x\ne a$ και άρα για x=a

, από συνέχεια. Τότε όμως δεν ικανοποιείται η πρώτη δοθείσα. Άρα δεν υπάρχει τέτοια

.

#8

sot arm έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 09, 2019 1:38 pm
Μπορούμε να γενικεύσουμε κάπως, έστω:

$0\leq a\leq 1$ να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις:
$\displaystyle{f:[0,1]\rightarrow [0,+\infty)}$ έτσι ώστε:

$\displaystyle{\int_{0}^{1}f(x)dx=1}$
$\displaystyle{\int_{0}^{1}xf(x)dx=a}$
$\displaystyle{\int_{0}^{1}x^{2}f(x)dx=a^{2}}$

Το παραπάνω είναι προφανώς εφαρμογή για , απλά έτσι έχει νόημα και η τρίτη συνθήκη.

Για συνεχή

, είναι κλασικό από Putnam (A2, 1964).

Ισότητα ολοκληρωμάτων

Ισότητα ολοκληρωμάτων

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

Re: Ισότητα ολοκληρωμάτων

Μέλη σε σύνδεση