Ερώτηση

alekos100 · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει
$f^{3}(x)+3f(x)=x$ , για κάθε $x\in R$ με f(1)=a

να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $I=\int_{0}^{1}f(x)dx$

Λύση
Για x=0

έχουμε $f^{3}(0)+3f(0)=0\Rightarrow f(0)[f^{2}(0)+3]=0\Rightarrow f(0)=0$

$I=\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}(x){}'f(x)dx=\left [ xf(x) \right ]^{1}_{0}-\int_{0}^{1}xf{}'(x)dx=$
$f(1)-\int_{0}^{1}[f^{3}(x)+3f(x)]f{}'(x)dx=f(1)-\left [ \frac{f^{4}(x)}{4}+\frac{3f^{2}(x)}{2} \right ]^{1}_{0}=$
$f(1)-\frac{f^{4}(1)}{4}-\frac{3f^{2}(1)}{2}=a-\frac{a^{4}}{4}-\frac{3a^{2}}{2}$

υπάρχει λάθος
( η λύση του βιβλίου είναι $I=\frac{3(a^{4}+2a^{2})}{4}$ )

#2

alekos100 έγραψε:Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει
$f^{3}(x)+3f(x)=x$ , για κάθε $x\in R$ με
να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $I=\int_{0}^{1}f(x)dx$

Λύση
Για έχουμε $f^{3}(0)+3f(0)=0\Rightarrow f(0)[f^{2}(0)+3]=0\Rightarrow f(0)=0$

$I=\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}(x){}'f(x)dx=\left [ xf(x) \right ]^{1}_{0}-\int_{0}^{1}xf{}'(x)dx=$
$f(1)-\int_{0}^{1}[f^{3}(x)+3f(x)]f{}'(x)dx=f(1)-\left [ \frac{f^{4}(x)}{4}+\frac{3f^{2}(x)}{2} \right ]^{1}_{0}=$
$f(1)-\frac{f^{4}(1)}{4}-\frac{3f^{2}(1)}{2}=a-\frac{a^{4}}{4}-\frac{3a^{2}}{2}$

υπάρχει λάθος
( η λύση του βιβλίου είναι $I=\frac{3(a^{4}+2a^{2})}{4}$ )

Παρατήρησε ότι a^3+3a=1

, κι άρα

.

Οι δυο απαντήσεις, λόγω της τελευταίας σχέσης, ταυτίζονται.

Φιλικά,

Αχιλλέας

apotin · #3

Η $\displaystyle{f '}$ είναι συνεχής;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

apotin έγραψε:Η $\displaystyle{f '}$ είναι συνεχής;

Ναι.
Γιατί παραγωγίζοντας παίρνουμε $f'(x)=\dfrac{1}{3f^{2}(x)+3}$

Να σημειώσω ότι υπάρχει μοναδική συνάρτηση που πληρεί την συναρτησιακή η όποια
είναι συνεχής και παραγωγίσημη όσες φορές θέλουμε.

Συμπλήρωμα.
Διορθώθηκε τυπογραφικό .Ευχαριστώ τον Demetres για την υπόδειξη.

apotin · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Να σημειώσω ότι υπάρχει μοναδική συνάρτηση που πληρεί την συναρτησιακή η όποια
είναι συνεχής και παραγωγίσημη όσες φορές θέλουμε.

Νομίζω πως είναι η αντίστροφη της $\displaystyle{g(x)=x^3+3x}$

Ερώτηση

Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Μέλη σε σύνδεση