Σταθερή συνάρτηση

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

Γιώργος Απόκης · #2

Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb R$ αφού η

είναι συνεχής στο [-x,x]

ως συνεχής στο $\mathbb R$ .

Ισχύει : $\displaystyle{F(x)=\int_{-x}^0f(t)dt+\int_{0}^xf(t)dt}=-\int_{0}^{-x}f(t)dt+\int_{0}^xf(t)dt}$ , επομένως :

$\displaystyle{F'(x)=-\left(\int_{0}^{-x}f(t)dt\right)'+\left(\int_{0}^xf(t)dt\right)'=-f(-x)(-x)'+f(x)=f(-x)+f(x)}$ (1).

$\bullet$ Αν η

είναι περιττή, τότε για κάθε $x\in\mathbb R$ ισχύει : f(-x)=-f(x)

και άρα από την (1), έχουμε :

$F'(x)=0\overset{\sigma \upsilon \nu .}\Rightarrow F(x)=c,~c\in \mathbb R$ .

$\bullet$ Αν η

είναι σταθερή, τότε για κάθε $x\in\mathbb R$ ισχύει : F'(x)=0

και άρα από την (1), έχουμε :

$f(-x)+f(x)=0\Rightarrow f(-x)=-f(x),~x\in \mathbb R$ δηλαδή η

είναι περιττή.

#3

...Καλημέρα στο

με προσπάθεια στο θέμα του Ορέστη...

Αν

είναι περιττή τότε ισχύει ότι $f(-x)=-f(x),\,\,\,x\in R$ και $F(x)=\int\limits_{-x}^{x}{f(t)dt}=-\int\limits_{-x}^{x}{f(-t)dt}$

και για u=-t

το $du=-dt,\,\,\,\,t=-x\to u=x,\,\,\,\,t=x\to u=-x$ και έχουμε τότε

$F(x)=-\int\limits_{x}^{-x}{f(u)(-du)}=-\int\limits_{-x}^{x}{f(u)du}=-F(x)$ άρα $F(x)=0,\,\,\,x\in R$

Τώρα αν $F(x)=\int\limits_{-x}^{x}{f(t)dt}=c\in R$ τότε επειδή F(0)=0

αναγκαία

επομένως $\int\limits_{-x}^{x}{f(t)dt}=0\Leftrightarrow \int\limits_{-x}^{0}{f(t)dt}+\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt}=0$

και γιά για u=-t

το $du=-dt,\,\,\,\,t=-x\to u=x,\,\,\,\,t=0\to u=0$ και έχουμε $\int\limits_{-x}^{0}{f(t)dt}=\int\limits_{x}^{0}{f(-u)(-du)=}\int\limits_{0}^{x}{f(-u)du}$

και από $\int\limits_{-x}^{0}{f(t)dt}+\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt}=0\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{x}{f(-u)du+\int\limits_{0}^{x}{f(t)dt}=0}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{x}{(f(-t)+f(t))dt=0}$ και παραγωγίζοντας αφού η

συνεχής προκύπτει ότι

$f(-x)+f(x)=0\Leftrightarrow f(-x)=-f(x),\,\,\,x\in R$ που σημαίνει ότι

είναι περιττή

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση