Δύο ισότητες

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

hlkampel · #2

orestisgotsis έγραψε:Δίνονται οι συνεχείς συναρτήσεις και ορισμένες στο διάστημα $\left[ 0,\pi \right]$ .

Αν για κάθε $x\in \left[ 0,\pi \right]$ ισχύουν οι σχέσεις $\displaystyle{f(x)=f\left( \pi -x \right)$ και $\displaystyle{g(x)+g(\pi -x)=\pi$ , να αποδειχθούν τα παρακάτω:

α) ${\int\limits_{0}^{\pi }{f(x)g(x)dx}=\frac{\pi }{2}\int\limits_{0}^{\pi }{f(x)dx}$

β) $\displaystyle{\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{x\sin x}{1+{{\cos }^{2}}x}dx}=\frac{\pi }{2}\int\limits_{0}^{\pi }{\frac{\sin x}{1+{{\cos }^{2}}x}dx}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Ποια εντολή γράφουμε ώστε να υπάρχει επιθυμητό διάστημα μεταξύ πεζού κειμένου και τύπων;
Ευχαριστώ

α) Είναι $I = \int_0^\pi {f\left( x \right)g\left( x \right)} dx$

Θέτω $u = \pi - x$ οπότε du = - dx

Με

είναι $u = \pi$ και

με $x = \pi$ είναι u = 0

το ολοκλήρωμα γίνεται:

$I = \int_\pi ^0 { - f\left( {\pi - u} \right)g\left( {\pi - u} \right)} du\mathop \Rightarrow \limits^{\upsilon \pi \dot o\theta \varepsilon \sigma \eta } \int_0^\pi {f\left( u \right)} \left[ {\pi - g\left( u \right)} \right]du \Rightarrow$

$I = \pi \int_0^\pi {f\left( u \right)} du - \int_0^\pi {f\left( u \right)g\left( u \right)} du \Rightarrow$

$I = \pi \int_0^\pi {f\left( u \right)} du - I \Rightarrow$

$I = \frac{\pi }{2}\int_0^\pi {f\left( x \right)} dx$

β) $\int_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} dx = \int_0^\pi {\frac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} xdx$

Θέτω $f\left( x \right) = \frac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}$ και g(x) = x

οι οποίες ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του (α) ερωτήματος, έτσι:

$\int_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} dx = \frac{\pi }{2}\int_0^\pi {\frac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} dx$

Δύο ισότητες

Δύο ισότητες

Re: Δύο ισότητες

Μέλη σε σύνδεση