Ολοκληρώματα για εξετάσεις

karoto1 · #1

Έστω οι συναρτήσεις $f(x)=\frac{x^3 -3x+a}{( x^2+1) \sqrt{x^2+1}}$ και $F(x)=\frac{x^2 +ax+5}{ \sqrt{x^2+1}}$
α) Να αποδείξετε ότι η F(x) είναι μια αρχική της f(x)
β) Για α=2 να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της C_f

, του άξονα x'x και των ευθειών x=1 και x=2.
γ) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\int_0^2 -f(-x)dx$
δ) Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα $\int_0^2 \left ( F(-x)-F(x) \right)dx$
ε) Να υπολογιστεί o αριθμός α έτσι ώστε $\int^2_0 F(x)dx-\int^0_{-2} F(x)dx=2$

Rania · #2

α)Η F ειναι παραγωγισιμη ως ρητη στο R, αφου ο παρονομαστης ειναι παντα διαφορος και μεγαλυτερος του μηδενος.
Αρα $F'(x)=\frac{(2x+a)(\sqrt{x^{2}+1})-\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}(x^{2}+ax+5)}{x^{2}+1}$ αρα αν σπασουμε τα κλασματα, κανουμε την απλοποιηση που βγαινει στο δευτερο κλασμα, και τα ξανακανουμε ομονυμα, με τις απαλοιφες των $ax^{2}$ στον παρονομαστη, μενει F'(x)=f(x).
Αρα αφου $(\int_{0}^{x}{f(t)dt})'=f(x)$ , εχουμε $F'(x)=(\int_{0}^{x}{f(t)dt})'$ , αρα απο συνεπειες ΘΜΤ, $F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}+c$ .
Επομενως η F ειναι μια αρχικη της f.

β)Κανουμε μελετη προσημου στο τριωνυμο $x^{3}-3x+2$ που ειναι ο αριθμητης της f. Ο παρονομαστης της ειναι θετικος και διαφορος του μηδενος για καθε χ στο R.
Το τριωνυμο μηδενιζεται για χ=1 και για χ=-2, αρα η f ειναι αρνητικη για -2<x<1.
Εμεις θελουμε το ολοκληρωμα της f για 1<=χ<=2, οπου η f ειναι θετικη.
Αρα: $E(\Omega )=\int_{1}^{2}{f(x)dx}=\int_{1}^{2}{(F(x))'dx}=[F(x)]$ απο το 1 στο 2(δεν ξερω πως μπαινει με latex αυτο

), δηλαδη Ε(Ω)=F(2)-F(1)= $\frac{13}{\sqrt{5}}-\frac{8}{\sqrt{2}}$ .

γ)Θετω -x=u => -dx=du και τα νεα ακρα του ολοκληρωματος ειναι:
Για x=0, u=0 και για x=2, u=-2.
Αρα $\int_{0}^{2}{-f(-x)dx}=\int_{0}^{-2}{f(u)du}=\int_{0}^{-2}{(F(u))'du}=F(-2)-F(0)=\frac{5\sqrt{5}-25}{5}$

Δεν εχω χρονο για τα αλλα δυο, θα τα δω αργοτερα. Ειναι σωστα αυτα τα 3;

karoto1 · #3

Όλα καλά! Απλά το δεδομένο " για α=2 ..." ισχύει μόνο για το β υποερώτημα.

Christos.N · #4

Rania έγραψε: .......
β)Κανουμε μελετη προσημου στο τριωνυμο $x^{3}-3x+2$ που ειναι ο αριθμητης της f.......

Δεν είναι τριώνυμο Ράνια κατα πως φαίνεται καλύτερα να μελετήσεις την συνάρτηση.

karoto1 · #5

πράγματι.... είτε παραγοντοποίηση με Horner και μελέτη προσήμου x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)

ευχαριστώ για την επισήμανση, μου διέφυγε το λάθος (το αποτέλεσμα προκύπτει το ίδιο)

Rania · #6

Christos.N έγραψε:
Rania έγραψε: .......
β)Κανουμε μελετη προσημου στο τριωνυμο $x^{3}-3x+2$ που ειναι ο αριθμητης της f.......
Δεν είναι τριώνυμο Ράνια κατα πως φαίνεται καλύτερα να μελετήσεις την συνάρτηση.

Εχει διπλη ριζα το χ=1 και το χ=-2. Μελετη της συναρτησης ειναι ανουσιο να κανω, αφου ο παρονομαστης ειναι παντα θετικος.
Με χορνερ το εκανα και διακρινουσα της εξισωσης του 2ου βαθμου που προκυπτει. Ετσι βγαινουν τα προσημα. Απλα μου εχει μεινει να λεω τριωνυμο οποιαδηποτε συναρτηση εχει τρια μονωνυμα.

(ναι ναι ξερω, τριωνυμα λεμε μονο της 2ου βαθμου συναρτησεις, αλλα ποτε δεν καταλαβα γιατι)

Ολοκληρώματα για εξετάσεις

Ολοκληρώματα για εξετάσεις

Re: Ολοκληρώματα για εξετάσεις

Re: Ολοκληρώματα για εξετάσεις

Re: Ολοκληρώματα για εξετάσεις

Re: Ολοκληρώματα για εξετάσεις

Re: Ολοκληρώματα για εξετάσεις

Μέλη σε σύνδεση