Όριο (Προς Αποδ.)

mathxl · #1

Ένα όριο από μαθλινκς (για την ώρα αναπάντητο εκεί

http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=338909)
$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {\frac{1}{{{x^2}}}\int\limits_0^{{x^2}} {\frac{{t + \eta {\mu ^2}\sqrt t }}{{t + 1}}dt} } \right]}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

mathxl · #2

έχω δύο λύσεις

Λύση 1η
Για $\displaystyle{x \ne 0}$ και $\displaystyle{t \in \left[ {0,{x^2}} \right]}$ ισχύει
$\displaystyle{0 \le \left| {\eta \mu \sqrt t } \right| \le \sqrt t \Rightarrow 0 \le \eta {\mu ^2}\sqrt t \le t \Rightarrow }$
$\displaystyle{t \le t + \eta {\mu ^2}\sqrt t \le 2t \Rightarrow \frac{t}{{t + 1}} \le \frac{{t + \eta {\mu ^2}\sqrt t }}{{t + 1}} \le \frac{{2t}}{{t + 1}} \Rightarrow }$
$\displaystyle{1 - \frac{1}{{t + 1}} \le \frac{{t + \eta {\mu ^2}\sqrt t }}{{t + 1}} \le 2\left( {1 - \frac{1}{{t + 1}}} \right) \Rightarrow }$
$\displaystyle{{x^2} - \ln \left( {{x^2} + 1} \right) \le \int\limits_0^{{x^2}} {\frac{{t + \eta {\mu ^2}\sqrt t }}{{t + 1}}dt} \le 2\left[ {{x^2} - \ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right] \Rightarrow }$
$\displaystyle{1 - \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}} \le \frac{1}{{{x^2}}}\int\limits_0^{{x^2}} {\frac{{t + \eta {\mu ^2}\sqrt t }}{{t + 1}}dt} \le 2\left[ {1 - \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}}} \right]}$
Με ΚΠ παίρνουμε ότι το ζητούμενο όριο ισούται με 0 αφού $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}}\mathop = \limits_{DLH}^{\frac{0}{0}} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^2} + 1}} = 1}$

#3

Ισχύουν προϋποθέσεις DLH :
Αναζητώ το $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{2x\frac{x^2+sin^2(|x|)}{x^2+1}}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2+sin^2(|x|)}{x^2+1}=\lim_{x\to 0}\frac{1+\frac{sin^2(|x|)}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}}$ οπότε χωρίζουμε στα πλευρικά και έτσι ψάχνουμε το
$\displaystyle{\lim_{x\to 0+}\frac{1+\frac{sin^2(x)}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}=\lim_{x\to 0+}\frac{1+(\frac{sin(x)}{x})^2}{1+\frac{1}{x^2}}=0}$ και το άλλο πλευρικό βγαίνει όμοια συνεπώς το ζητούμενο = 0

APO · #4

Καλημέρα. Πρώτη φορά επικοινωνώ και θα ήθελα να δώσω συγχαρητήρια σε όλους για την εξαίρετη προσπάθεια που κάνετε.
μια ερώτηση : γιατί πρέπει στο όριο να πάρω πλευρικά αφού είναι ίσο με 0;

#5

Για να φύγει το απόλυτο και να εμφανιστεί το γνωστό...

mathxl · #6

Λύση 3η έτσι για να υπάρχει...
Για $\displaystyle{x \ne 0}$ και $\displaystyle{t \in \left[ {0,{x^2}} \right]}$
$\displaystyle{0 \le t \le {x^2} \Rightarrow 0 \le \sqrt t \le \left| x \right| \Rightarrow 0 \le \eta {\mu ^2}\sqrt t \le \eta {\mu ^2}\left| x \right|}$

Άρα
$\displaystyle{\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {0 \le \eta {\mu ^2}\sqrt t \le \eta {\mu ^2}\left| x \right|} \\ {0 \le t \le {x^2}} \\ \end{array}} \right\}\mathop \Rightarrow \limits^ + 0 \le t + \eta {\mu ^2}\sqrt t \le {x^2} + \eta {\mu ^2}\left| x \right| \Rightarrow }$
$\displaystyle{\frac{0}{{t + 1}} \le \frac{{t + \eta {\mu ^2}\sqrt t }}{{t + 1}} \le \frac{{{x^2} + \eta {\mu ^2}\left| x \right|}}{{t + 1}} \Rightarrow }$
$\displaystyle{0 \le \int\limits_0^{{x^2}} {\frac{{t + \eta {\mu ^2}\sqrt t }}{{t + 1}}dt} \le \left( {{x^2} + \eta {\mu ^2}\left| x \right|} \right)\ln \left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow }$
$\displaystyle{0 \le \frac{1}{{{x^2}}}\int\limits_0^{{x^2}} {\frac{{t + \eta {\mu ^2}\sqrt t }}{{t + 1}}dt} \le \left( {1 + \frac{{\eta {\mu ^2}\left| x \right|}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} \right)\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}$

Με Κπ παίρνουμε το ζητούμενο

#7

Στο ίδιο μήκος κύματος με του Βασίλη, για

κοντά στο 0 έχουμε

$\displaystyle{0<\frac{1}{x^2}\int_0^{x^2}\frac{t+\sin^{2}\sqrt{t}}{t+1}\,dt\leq\frac{1}{x^2}\int_0^{x^2}t+\sin^{2}\sqrt{t}\,dt\leq}$

$\displaystyle{\frac{1}{x^2}\int_0^{x^2}x^{2}+\sin^{2}\sqrt{t}\,dt\leq x^{2}+\frac{1}{x^2}\int_{0}^{x^2}\sin^{2}\sqrt{t}\,dt\leq}$

$\displaystyle{x^{2}+sin^{2}|x|\to0}$ .

Το ότι το

πρέπει να είναι κοντά στο 0 χρειάζεται στην τελευταια ανισότητα.

Όριο (Προς Αποδ.)

Όριο (Προς Αποδ.)

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση