Στοιχειώδες εμβαδόν

KARKAR · #1

: Στοιχειώδες εμβαδόν.png (11.25 KiB) Προβλήθηκε 116 φορές

$\bigstar$ Η άσκηση που ακολουθεί είναι Α' Ομάδας . Στην ακτίνα OA=r

, του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , κινείται

σημείο

, στο οποίο φέρουμε κάθετη στην

, η οποία τέμνει το τόξο στο σημείο

και στην προέκταση

της οποίας θεωρούμε σημείο

, ώστε :

. Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου POS

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 23, 2025 1:33 pm
Στοιχειώδες εμβαδόν.png $\bigstar$ Η άσκηση που ακολουθεί είναι Α' Ομάδας . Στην ακτίνα , του τεταρτοκυκλίου $O\overset{\frown}{AB}$ , κινείται

σημείο , στο οποίο φέρουμε κάθετη στην , η οποία τέμνει το τόξο στο σημείο και στην προέκταση

της οποίας θεωρούμε σημείο , ώστε : . Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

: Στοιχειώδες εμβαδόν.png (9.06 KiB) Προβλήθηκε 67 φορές

$\displaystyle (POS) = \frac{x}{2}(ST + r) \Leftrightarrow (POS) = f(x) = \frac{x}{2}\left( {\sqrt {{r^2} - {x^2}} + r} \right),0 < x \le r$

$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{r^2} - 2{x^2}}}{{\sqrt {{r^2} - {x^2}} }} + r} \right).$ Ο μηδενισμός της παραγώγου δίνει

$\boxed{x=\frac{r\sqrt 3}{2}}$ και μέγιστο εμβαδόν $\boxed{(POS)_{max}=\frac{3r^2\sqrt 3}{8}}$

#3

Καλησπέρα σε όλους. Αφιερωμένη στους αγαπητούς συναδέλφους που έζησαν ως μαθητές τα χρόνια δίχως παραγώγους, μια τριγωνομετρικοαλγεβρική λύση (calculus free).(*)

: 25-11-2025 Τριγωνομετρία.jpg (23.45 KiB) Προβλήθηκε 44 φορές

$\displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{{OS}}{r} \Rightarrow OS = r \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi$ , με οξεία γωνία.

$\displaystyle \left( {POS} \right) = \left( {OTS} \right) + \left( {OPT} \right) = \frac{{r \cdot OS \cdot \eta \mu \varphi }}{2} + \frac{{{r^2} \cdot \eta \mu \left( {90^\circ + \varphi } \right)}}{2}$

$\displaystyle = \frac{{{r^2} \cdot \sigma \upsilon \nu \varphi \cdot \eta \mu \varphi }}{2} + \frac{{{r^2} \cdot \eta \mu \left( {90^\circ + \varphi } \right)}}{2} = \frac{{{r^2}}}{2}\sigma \upsilon \nu \varphi \left( {\eta \mu \varphi + 1} \right)$

Ζητώ το μέγιστο της παράστασης $\diaplaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi \left( {\eta \mu \varphi + 1} \right),\;\;\varphi \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)$

$\displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi \left( {\eta \mu \varphi + 1} \right) = \sqrt {1 - \eta {\mu ^2}\varphi } \left( {1 + \eta \mu \varphi } \right) = \sqrt {\left( {1 - \eta \mu \varphi } \right){{\left( {1 + \eta \mu \varphi } \right)}^3}}$

Έχει μέγιστο όταν και το υπόρριζο έχει μέγιστο.

Αφού οι όροι έχουν σταθερό άθροισμα το γινόμενο είναι μέγιστο όταν

$\displaystyle \frac{{1 - \eta \mu \varphi }}{1} = \frac{{1 + \eta \mu \varphi }}{3} \Leftrightarrow 3 - 3\eta \mu \varphi = 1 + \eta \mu \varphi \Leftrightarrow \eta \mu \varphi = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \varphi = \frac{\pi }{6}$

Τότε $\displaystyle {\left( {POS} \right)_{\max }} = \frac{{{r^2}}}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 + \frac{1}{2}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 {r^2}}}{8}$

(*)Φοβάμαι ότι έρχονται μέρες δίχως calculus, δίχως άλγεβρα, δίχως υπόλοιπο γεωμετρίας, δίχως τα μαθηματικά, όπως τα ξέρουμε, γενικώς. Όσοι δεν δώσατε προσοχή , ρίξτε μια ματιά στο νέο ύφος των θεμάτων της Α΄ Λυκείου ΕΔΩ.

Στοιχειώδες εμβαδόν

Στοιχειώδες εμβαδόν

Re: Στοιχειώδες εμβαδόν

Re: Στοιχειώδες εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση