Μελέτη Ορίου VI - exordium

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Να υπολογιστεί το όριο
$\lim\limits_{x\to 0}\left[\dfrac{1}{\eta\mu^2x}-\dfrac{1}{x^2}\right]$

#2

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 20, 2025 1:13 pm
Να υπολογιστεί το όριο
$\lim\limits_{x\to 0}\left[\dfrac{1}{\eta\mu^2x}-\dfrac{1}{x^2}\right]$

$\lim\limits_{x\to 0}\left[\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{1}{x^2}\right] = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x}{x^2\sin^2x} = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x\sin^2x}\cdot \dfrac{x+\sin x}{x}=$

$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x (1-\cos x)}\cdot \dfrac {1}{1+\cos x } \cdot \dfrac{x+\sin x}{x}$

Βρίσκουμε τα όρια των τριών παραγόντων χωριστά.

1) Με τρία l' Hospital

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x -x\cos x}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{1-\cos x+ x\sin x}= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{2\sin x+ x\cos x}=$

$=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos x}{3\cos x+ x\sin x}=\dfrac {1}{3+0}$

2) $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac {1}{1+\cos x }= \dfrac{1}{2}$

3) Mε l' Hospital (αλλά γίνεται και αλλιώς) $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x+\sin x}{x} =\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1+\cos x}{1} = 2$

Όλα μαζί δίνουν ότι το ζητούμενο όριο ισούται $\dfrac {1}{3+0} \cdot \dfrac {1}{2}\cdot 2 = \dfrac {1}{3}$ .

#3

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 20, 2025 1:13 pm
Να υπολογιστεί το όριο
$\lim\limits_{x\to 0}\left[\dfrac{1}{\eta\mu^2x}-\dfrac{1}{x^2}\right]$

Παραλλαγή: Μπορούμε να εργαστούμε και με την ταυτότητα

$\lim\limits_{x\to 0}\left[\dfrac{1}{\sin^2x}-\dfrac{1}{x^2}\right] = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-\sin^2x}{x^2\sin^2x} = \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}\cdot \left (\dfrac {x}{ \sin x} \right ) ^2\cdot \dfrac{x+\sin x}{x}$

Μετά με την εύρεση κάθε ορίου χωριστά, όπως πριν. Ένας τρόπος είναι να εργαστούμε με l' Hospital αλλά και, τουλάχιστον σε κάποια βήματα, με αξιοποίηση του

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ . Για παράδειγμα ο δεύτερος και ο τρίτος παράγοντας βρίσκονται εύκολα με χρήση αυτού. Αφήνω τις λεπτομέρειες γιατί ουσιαστικά τα βήματα είναι παραπλήσια με την προηγούμενη περίπτωση.

Μελέτη Ορίου VI - exordium

Μελέτη Ορίου VI - exordium

Re: Μελέτη Ορίου VI - exordium

Re: Μελέτη Ορίου VI - exordium

Μέλη σε σύνδεση