Όριο με τρεις μεταβλητές

#1

Για κάθε τριάδα $u,\,v,\,w$ μη μηδενικών πραγματικών αριθμών θέτουμε x=u+v+w

. Εξετάστε αν υπάρχει το όριο

$\displaystyle{\lim _{x\to 0} \dfrac {u^3+v^3+w^3}{uvw}}$

Edit: Έκανα διόρθωση στην εκφώνηση.

Orestisss · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 23, 2025 11:29 pm
Για κάθε τριάδα $u,\,v,\,w$ μη μηδενικών πραγματικών αριθμών θέτουμε . Να βρεθεί το όριο

$\displaystyle{\lim _{x\to 0} \dfrac {u^3+v^3+w^3}{uvw}}$

Δεδομένου ότι $u+v+w\to 0, u^3+v^3+w^3\to 3uvw$ , είναι
$\lim_{x\to 0}=\dfrac {3uvw}{uvw}=3$ .

#3

Orestisss έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 24, 2025 12:23 am
Δεδομένου ότι $u+v+w\to 0, u^3+v^3+w^3\to 3uvw$ , είναι
$\lim_{x\to 0}=\dfrac {3uvw}{uvw}=3$ .

Εκανα εκ των υστέρων διόρθωση στην εκφώνηση.

Προσοχή, όμως, ο συλλογισμός σου έχει έτσι και αλλιώς ένα σφάλμα.

Πρώτον, σίγουρα ένας ισχυρισμός όπως ο παραπάνω, χρειάζεται απόδειξη. Χωρίς απόδειξη, δεν κάναμε τίποτα. Αλλά το ουσιαστικό πρόβλημα είναι αλλού: Η παράσταση δεξιά, δηλαδή η 3uvw

, είναι μεταβλητή. Όμως, ένα όριο πρέπει να τείνει σε σταθερή ποσότητα. Με απλά λόγια, ο ισχυρισμός $u^3+v^3+w^3\to 3uvw$ δεν έχει νόημα. Για παράδειγμα δεν έχει νόημα να λέμε ότι όταν $x\to 0$ τότε $2x\to x$ (πράγμα που "προκύπτει" από τον ψευδοσυλλογισμό $2x=x+x\to x+0=x$ ).

Θεωρώ την άσκηση ακόμα ανοικτή (στην βελτιωμένη της εκφώνηση)

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 23, 2025 11:29 pm
Για κάθε τριάδα $u,\,v,\,w$ μη μηδενικών πραγματικών αριθμών θέτουμε . Εξετάστε αν υπάρχει το όριο

$\displaystyle{\lim _{x\to 0} \dfrac {u^3+v^3+w^3}{uvw}}$

Edit: Έκανα διόρθωση στην εκφώνηση.

'Οχι, δεν υπάρχει.

Παρατηρούμε ότι αν u+v=0

και $u, v, w\ne 0$ , τότε

$\dfrac {u^3+v^3+w^3}{uvw}=-\dfrac{w^2}{u^2}$ .

Με u=1

,

και $w=x\ne 0$ έχουμε

$\dfrac {u^3+v^3+w^3}{uvw}=-x^2\to 0$ , καθώς $x\to 0$ ,

ενώ με $u=x\ne 0$ , $v=-x\ne 0$ και w=x

, έχουμε

$\dfrac {u^3+v^3+w^3}{uvw}=-1\to -1$ , καθώς $x\to 0$ .

Άρα το ζητούμενο όριο δεν υπάρχει.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #5

Στην Γ' Λυκείου μελετάμε όρια πραγματικών συνάρτησεων μιας πραγματικής μεταβλητής, στα οποία ενίοτε υπάρχουν και άλλες μεταβλητές (παράμετροι). Συνήθως είναι ξεκάθαρο ποια είναι η μεταβλητή και ποιες είναι οι παράμετροι.

Η παρούσα άσκηση έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον γιατί στο δοθέν όριο πρέπει να ξεκαθαρίσουμε όχι μόνο το ρόλο των μεταβλητών που εμφανίζονται αλλά και την ίδια τη συνάρτηση της οποίας το όριο θέλουμε να μελετήσουμε.

Μπορούμε να ξετυλίξουμε το κουβάρι εντοπίζοντας πρώτα την ανεξάρτητη μεταβλητή. Η σύνταξη του ορίου ορίζει αυτή να είναι η

(επειδή " $x\to0$ ").

Η συνάρτηση είναι η $\dfrac{u^3+v^3+w^3}{uvw}$ (Σ)
και θα πρέπει να τη δούμε ως συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής x=u+v+w

χωρίς να εννοούμε με αυτό ότι ως παράσταση πραγματικών αριθμών η (Σ) εξαρτάται μόνο από την τιμή της

.

Ας γίνουμε λίγο πιο συγκεκριμένοι.
Μας δίνεται ότι u+v+w=x

οπότε οι ποσότητες u,v,w

δεν είναι εν γένει σταθερές αλλά εξαρτώνται από τη μεταβλητή

. Επειδή είμαστε σε πλαίσιο συναρτήσεων μιας ανεξάρτητης μεταβλητής θα πρέπει να ερμηνεύσουμε τις μεταβλητές αυτές ως συναρτήσεις (όχι πολύτιμες-multivalued) μόνο της

:

Για κάθε

θα ισχύει

Επειδή μας έχει δοθεί ότι
$u(x)\cdot v(x)\cdot w(x)\ne0$
το δοσμένο όριο είναι καλά ορισμένο.

Ανάλογα με το ποιες είναι αυτές οι συναρτήσεις το όριο μπορεί να υπάρχει ή να μην υπάρχει.

Προκειμένου να εντοπίσουμε παραδείγματα, ας υποθέσουμε επιπλέον ότι ισχύει
u(x)+v(x)=0

οπότε

και το αρχικό όριο γίνεται $\displaystyle{\lim_{x\to 0} \dfrac {-x^2}{u(x)^2}}$

Παραδείγματα
$\bullet$ για $u(x)=x, x\ne0$ το όριο υπάρχει και είναι ίσο με

$\bullet$ για $u(x)=\begin{cases}x,& x>0\\2x, & x<0\end{cases}$ το όριο δεν υπάρχει. $\blacksquare$

#6

Ιάσων Κωνσταντόπουλος έγραψε: ↑
Παρ Ιούλ 25, 2025 6:31 pm

Μας δίνεται ότι
οπότε οι ποσότητες δεν είναι εν γένει σταθερές αλλά εξαρτώνται από τη μεταβλητή . Επειδή είμαστε σε πλαίσιο συναρτήσεων μιας ανεξάρτητης μεταβλητής θα πρέπει να ερμηνεύσουμε τις μεταβλητές αυτές ως συναρτήσεις (όχι πολύτιμες-multivalued) μόνο της :

Νομίζω ότι μπλέκουμε τα πράγματα χωρίς λόγο: Τα u,v,w

δεν είναι συναρτήσεις, πόσο μάλλον να τις θεωρήσουμε μίας μεταβλητής. Για παράδειγμα, για x=1

δεν έχει νόημα να μιλάμε για u(1)

. Το

μπορεί (πάντα για x=1

) να πάρει οποιαδήποτε θετική τιμή. Δεν βλέπω πώς μπορούμε να πούμε ότι είναι συνάρτηση. Δεν είναι.

ksofsa · #7

Μια λύση εκτός φακέλου:

Αν το δεδομένο όριο υπάρχει, θα ισούται με τα όρια:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{(2x)^3+x^3+x^3}{2x^3}=5$

και

$\lim_{x \to 0} \dfrac{(3x)^3+x^3+x^3}{3x^3}=\dfrac{29}{3}$ ,

άτοπο, λόγω της μοναδικότητας του ορίου.

Όριο με τρεις μεταβλητές

Όριο με τρεις μεταβλητές

Re: Όριο με τρεις μεταβλητές

Re: Όριο με τρεις μεταβλητές

Re: Όριο με τρεις μεταβλητές

Re: Όριο με τρεις μεταβλητές

Re: Όριο με τρεις μεταβλητές

Re: Όριο με τρεις μεταβλητές

Μέλη σε σύνδεση