Εξίσωση

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η συνάρτηση $f(x) = \left(x^2 +1 \right) \ln x \; , \; x>0$ .

Να δειχθεί ότι για κάθε ισχύει $\displaystyle{\ln x \geq 1 - \frac{1}{x}}$ .
Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο $(0, +\infty)$ .
Αν $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$ , να λυθεί η εξίσωση

$\displaystyle{\cos^2 x \cdot f \left ( \tan x \right ) + \sin^2 x \cdot f \left ( \cot^{22} x \right ) =0 }$

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #2

i) Στη γνωστή ανισότητα $\ln x\le x-1$ θέτουμε $\frac{1}{x}$ στη θέση του

οπότε $\ln \frac{1}{x}\le \frac{1}{x}-1$ $\Rightarrow\ln x\ge 1-\frac{1}{x}$

ii) $f^\prime(x)=x\big(\ln x^2+1+\frac{1}{x^2}\big)=(*)$
Αξιοποιώντας το i) $(*)\ge x(1-\frac{1}{x^2}+1+\frac{1}{x^2})$ = 2x>0

οπότε η

είναι γνησίως αύξουσα.

iii) Παρατηρούμε ότι $f(\frac{1}{x})=...=-\frac{f(x)}{x^2}$ (**)

Διαιρώντας την εξίσωση με $\sin^2 x$ και θέτοντας $u=\cot x>0$ αυτή γράφεται
$u^2 f(\frac{1}{u})+f(u^{22})=0$ οπότε από τη (**)

έχουμε $f(u)=f(u^{22})$
Η

είναι 1-1 οπότε $u=u^{22}$ και εν τέλει u=1

οπότε $x=\frac{\pi}{4}$ $\blacksquare$

Tolaso J Kos · #3

Ενημερώθηκα ότι η άσκηση είναι κατασκευή του Ηλία Ζωβοιλη..

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση