Δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

abfx · #2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 14, 2024 6:26 pm
Μια συνάρτηση είναι ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$

και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ισχύει: ${{f}^{2}}(x)+4\le 4f\left( {{x}^{3}} \right)$ . Να αποδείξετε ότι:

α) Η δεν είναι γνησίως μονότονη.

β) Η εξίσωση έχει μία τουλάχιστο ρίζα στο $\mathbb{R}$ .

Αν $x\in\{-1,0,1\}$ , τότε $x^3=x \implies f^2(x)+4\leq 4f(x) \iff (f(x)-2)^2\leq 0 \iff f(x)=2$ .

Δηλαδή είναι f(-1)=f(0)=f(1)=2

. Από Θεώρημα Rolle:

$\exists \xi_1 \in (-1,0)$ και $\exists \xi_2 \in (0,1)$ τέτοια ώστε $f'(\xi_1)=f'(\xi_2)=0 \text{ }(*)$ .

α)Αν η

ήταν γνησίως μονότονη, θα είχαμε $f'(\xi_1)<f'(\xi_2)$ ή $f'(\xi_1)>f'(\xi_2)$ , το οποίο είναι άτοπο (*)

.

β)Λόγω (*)

, πάλι από Θεώρημα Rolle, αυτή τη φορά στην παραγωγίσιμη

, $\exists \xi \in (\xi_1 , \xi_2)$ , τέτοιο ώστε:

$f''(\xi)=0$ , που ήταν το ζητούμενο.

Δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση

Δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση