Ρυθμός μεταβολής

#1

: Για ρυθμό μεταβολής.png (15.29 KiB) Προβλήθηκε 895 φορές

Σε ημικύκλιο διαμέτρου BC = 4cm

, κινείται σημείο

Από το

στο

.

Έστω ότι η προβολή

του

στην

κινείται με ταχύτητα : $u = 2cm/\sec$ .

Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας : $\widehat {CBS} = \theta$ τη χρονική στιγμή , ${t_0}$ που είναι ίση με $\dfrac{\pi }{3}$ .

#2

Από την υπόθεση έχουμε ότι $\displaystyle{BT^{/}(t)=2 cm/seq}$

Επίσης έχουμε: $\displaystyle{\cos\theta(t) =\frac{BT(t)}{BS(t)}}$ . Άρα $\displaystyle{BS(t).cos\theta (t) =BT(t)}$ .

Παραγωγίζοντας, παίρνουμε: $\displaystyle{BS^{/}(t).cos\theta(t)+BS(t)(-sin\teta(t)).\theta^{/}(t) =BT^{/}(t)}$ .

Άρα: $\displaystyle{2cos\theta(t) -BS(t).\theta^{/}(t).sin\theta(t)=BT^{/}(t)}$ , (1)

Επίσης έχουμε: $\displaystyle{BS^{2}(t) =4BT(t)}$ . Άρα: $\displaystyle{2BS(t).BS^{/}(t)=4BT^{/}(t)}$ , (2)

Από την υπόθεση έχουμε: $\displaystyle{\theta(t_0 )=\frac{\pi}{3}}$ . Επίσης για $\displaystyle{t=t_0}$ , οι σχέσεις (1) και (2) γράφονται:

$\displaystyle{2cos\theta(t_0)-BS(t_0).\theta^{/}(t_0).sin\theta(t_0)=BT^{/}(t_0)}$ και

$\displaystyle{2BS(t_0).BS^{/}(t_0)=4BT^{/}(t_0)}$

Συνεπώς:

$\displaystyle{2cos\frac{\pi}{3} - BS(t_0).\theta^{/}(t_0).sin\frac{\pi}{3}=2}$ και

Την στιγμή $\displaystyle{t_0}$ , όπου είναι $\displaystyle{\theta(t_0)=\frac{\pi}{3}}$ , είναι $\displaystyle{BS(t_0)=2}$ . Άρα έχουμε:

$\displaystyle{2.\frac{1}{2} - 2.\theta^{/}(t_0) .\frac{\sqrt{3}}{2}=2}$

Άρα: $\displaystyle{1 -2\theta^{/}(t_0) .\frac{\sqrt{3}}{2} =2}$

Άρα: $\displaystyle{\theta^{/}(t_0)= - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Maria-Eleni Nikolaou · #3

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 10, 2023 12:33 pm
Για ρυθμό μεταβολής.png

Σε ημικύκλιο διαμέτρου , κινείται σημείο Από το στο .

Έστω ότι η προβολή του στην κινείται με ταχύτητα : $u = 2cm/\sec$ .

Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της γωνίας : $\widehat {CBS} = \theta$ τη χρονική στιγμή , ${t_0}$ που είναι ίση με $\dfrac{\pi }{3}$ .

Καλησπέρα σας.

Έστω, x=BT

Από το $\triangle{BTS}$ είναι $x=BS\cos\theta$ . Όμως από το $\triangle{BSC}$ είναι $BS=4\cos\theta$ .
Οπότε, $x=4\cos^2\theta$ . Παραγωγίζοντας, παίρνουμε: $x'=-8\cos\theta \sin\theta \cdot \theta' \Leftrightarrow \theta'=\dfrac{-1}{4\cos\theta \sin\theta} \Leftrightarrow \theta'_{(t_0)}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .

Ρυθμός μεταβολής

Ρυθμός μεταβολής

Re: Ρυθμός μεταβολής

Re: Ρυθμός μεταβολής

Μέλη σε σύνδεση