Ακρότατα με προσοχή

KARKAR · #1

$\bigstar$ Βρείτε - προσεκτικά - τα ακρότατα της συνάρτησης : $f(x)=\ln(x+1)-\dfrac{\ln x}{x+1}$

Tolaso J Kos · #2

Θανάση , βρίσκω μόνο ένα minimum για x=1

.

nikkru · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Φεβ 15, 2023 8:09 pm
$\bigstar$ Βρείτε - προσεκτικά - τα ακρότατα της συνάρτησης : $f(x)=\ln(x+1)-\dfrac{\ln x}{x+1}$

Είναι $f'(x)=\frac{x-1}{x(x+1)}+\frac{lnx}{(x+1)^{2}}$ .

Προφανής ρίζα το 1, για $x\epsilon (0,1)$ είναι f'(x)<0

και για $x\epsilon (1,+\infty )$ είναι f'(x)>0

.

Οπότε μοναδικό ελάχιστο το ln2

για χ=1.

KARKAR · #4

Αρχικά να σημειώσω ότι - λόγω του $\bigstar$ - η άσκηση απευθύνεται σε πρώτη φάση σε μαθητές .

Ξεκινώντας , πρέπει να αποφύγουν την παγίδα με το πεδίο ορισμού . Κάποιοι θα έγραφαν το : $(-1 , +\infty)$ .

Στη συνέχεια η παράγωγος είναι η : $f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{x+1-x\ln x}{x(x+1)^2}=\dfrac{x^2+x\ln x-1}{x(x+1)^2}$ .

Η πανέξυπνη μεταποίηση της παραγώγου σε : $f'(x)=\dfrac{x-1}{x(x+1)}+\dfrac{\ln x}{(x+1)^{2}}$ , λύνει το πρόβλημα

αλλά πόσοι ( μαθητές και μη ) θα το δουν έτσι ;

Αντ' αυτού , ο μαθητής θα δει την προφανή ρίζα : x=1

, της παραγώγου και θα προσπαθήσει να δείξει

την μοναδικότητά της και να βρει το πρόσημο της

. Αρκεί λοιπόν ο αριθμητής να είναι γνησίως αύξων ,

στο $(0,+\infty)$ , οπότε προκύπτει ότι στο x=1

έχουμε ελάχιστο , το $f(1)=\ln2$ .

Θεωρεί λοιπόν την : $g(x)=x^2+x\ln x-1$ , με παράγωγο : $g'(x)=2x-\ln x-1$ και θέλει

να είναι : $2x-\ln x-1\geq 0 , \forall x>0$ . Αλλά : $2x-1>x-1>\ln x , \forall x>0$ κ.λ.π.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 16, 2023 12:42 pm
Αρχικά να σημειώσω ότι - λόγω του $\bigstar$ - η άσκηση απευθύνεται σε πρώτη φάση σε μαθητές .

Ξεκινώντας , πρέπει να αποφύγουν την παγίδα με το πεδίο ορισμού . Κάποιοι θα έγραφαν το : $(-1 , +\infty)$ .

Στη συνέχεια η παράγωγος είναι η : $f'(x)=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{x+1-x\ln x}{x(x+1)^2}=\dfrac{x^2+x\ln x-1}{x(x+1)^2}$ .

Η πανέξυπνη μεταποίηση της παραγώγου σε : $f'(x)=\dfrac{x-1}{x(x+1)}+\dfrac{\ln x}{(x+1)^{2}}$ , λύνει το πρόβλημα

αλλά πόσοι ( μαθητές και μη ) θα το δουν έτσι ;

Και χωρίς την "πανέξυπνη μεταποίηση", το πρόσημο του x^2+xlnx-1

είναι προφανές, αφού

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle 0 < x < 1 \Rightarrow {x^2} - 1 < 0,x\ln x < 0,$ ενώ

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle x> 1 \Rightarrow {x^2} - 1 >0 ,x\ln x > 0$

Ακρότατα με προσοχή

Ακρότατα με προσοχή

Re: Ακρότατα με προσοχή

Re: Ακρότατα με προσοχή

Re: Ακρότατα με προσοχή

Re: Ακρότατα με προσοχή

Μέλη σε σύνδεση