Επίμονη καθετότητα

KARKAR · #1

: Επίμονη καθετότητα.png (14.44 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές

ι) Δείξτε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων : $f(x)=\dfrac{2}{x}$

και : $g(x)=\sqrt{x^2+3}$ , στο κοινό τους σημείο

, είναι κάθετες μεταξύ τους .

ιι) ( Προαιρετικό ) : Αν οι a , b

, είναι οποιοιδήποτε θετικοί , μπορείτε να πείτε το ίδιο για τις :

$f(x)=\dfrac{a}{x}$ και : $g(x)=\sqrt{x^2+b}$ ;

Maria-Eleni Nikolaou · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 12, 2023 12:58 pm
Επίμονη καθετότητα.pngι) Δείξτε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων : $f(x)=\dfrac{2}{x}$

και : $g(x)=\sqrt{x^2+3}$ , στο κοινό τους σημείο , είναι κάθετες μεταξύ τους .

ιι) ( Προαιρετικό ) : Αν οι , είναι οποιοιδήποτε θετικοί , μπορείτε να πείτε το ίδιο για τις :

$f(x)=\dfrac{a}{x}$ και : $g(x)=\sqrt{x^2+b}$ ;

ii) Για το κοινό σημείο είναι:

$f(x)=g(x)\Leftrightarrow x^4+bx^2-a^2=0$ και θέτοντας k=x^2>0

έχουμε:

απ’ όπου παίρνουμε: $k=\dfrac{-b+\sqrt{b^2+4a^2}}{2}$ συνεπώς, $x_0=\sqrt{k}$ .

Επίσης, είναι: $g’(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+b}}$ και $f’(x)=-\dfrac{a}{x^2}$

Με αντικατάσταση εύκολα προκύπτει:

$f’(x_0)=\dfrac{2a}{b-\sqrt{b^2+4a^2}}$ και $g’(x_0)=\dfrac{\sqrt{b^2+4a^2}-b}{2a}$ , οπότε πράγματι επαληθεύεται η καθετότητα των εφαπτομένων.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 12, 2023 12:58 pm
Επίμονη καθετότητα.pngι) Δείξτε ότι οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων : $f(x)=\dfrac{2}{x}$

και : $g(x)=\sqrt{x^2+3}$ , στο κοινό τους σημείο , είναι κάθετες μεταξύ τους .

ιι) ( Προαιρετικό ) : Αν οι , είναι οποιοιδήποτε θετικοί , μπορείτε να πείτε το ίδιο για τις :

$f(x)=\dfrac{a}{x}$ και : $g(x)=\sqrt{x^2+b}$ ;

ii) Πάμε στη γενική περίπτωση. Αν x_0

είναι η τετμημένη του κοινού σημείου, τότε $\displaystyle {x_0}^4 + b{x_0}^2 = {a^2}$

$\displaystyle f'({x_0}) \cdot g'({x_0}) = - \frac{a}{{{x_0}\sqrt {{x_0}^2 + b} }} = - \frac{a}{{\sqrt {{x_0}^4 + b{x_0}^2} }} = - \frac{a}{a} = - 1$

Επίμονη καθετότητα

Επίμονη καθετότητα

Re: Επίμονη καθετότητα

Re: Επίμονη καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση