Πάντρεμα του Γυμνασίου με την Γ Λυκείου

#1

Ο Θανάσης (KARKAR), έχει παντρέψει την Ευκλείδεια γεωμετρία με τις παραγώγους
Ας δούμε και ένα πάντρεμα της διαιρετότητας (επιπέδου Γυμνασίου) με τις παραγώγους

Οι αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ είναι φυσικοί και ο αριθμός $\displaystyle{7a^2 +13b}$ διαιρείται με το $\displaystyle{14}$ .

Αν $\displaystyle{70 < 7a + b < 98}$ , να βρεθεί η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο αριθμός $\displaystyle{a^3 +28b}$

Henri van Aubel · #2

Edit: Συγγνώμη , πήγα να το κάνω χωρίς παραγώγους και υπέπεσα σε λάθος. Πάντως, αγενέστατος ο μαθητής vgreco. Ντροπή του !

vgreco · #3

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 12, 2023 10:09 am
Προφανώς $13b\equiv 0\left ( \textup{mod7} \right )$ και έτσι $b\equiv 0\left ( \textup{mod7} \right )$
Άρα $7a+b\equiv 0\left ( \textup{mod}7 \right ),$ οπότε $7a+b\in \left \{ 77,84,91 \right \}$ . Περιπτώσεις:

Αν $7a+b=77\Leftrightarrow b=77-7a\Leftrightarrow 7a^{2}+13b=7a^{2}-91a+1001$ και είναι πολλαπλάσιο του
Άμεσα προκύπτει άτοπο, καθώς οι αριθμοί $7a^{2},91a$ είναι της ίδιας αρτιότητας και άρα η διαφορά τους είναι άρτιος και ο αριθμός περιττός

Αν $7a+b=84\Leftrightarrow b=84-7a\Leftrightarrow 7a^{2}+13b=7a^{2}-91a+91\cdot 12$ και είναι πολλαπλάσιο του
Αυτό είναι δεκτό, γιατί $7a^{2},91a$ ίδιας αρτιότητας και άρα η διαφορά τους άρτιος και ο αριθμός άρτιος , ο οποίος είναι έτσι κι αλλιώς πολλ.7, άρα είναι και πολλ.14

Αν όμοια με την πρώτη περίπτωση καταλήγουμε σα άτοπο

Άρα είναι και θέλουμε την ελάχιστη δυνατή τιμή της παράστασης $a^{3}+28b$

Είναι $a^{3}+28b=a^{3}+28\left ( 84-7a \right )=a\left ( a^{2}-196 \right )+28\cdot 84\geq 2157$

Οι αριθμοί a = 8

,

ικανοποιούν τις δοσμένες συνθήκες, ενώ a^3 + 28b = 1296 < 2157

.

Έλεος...

#4

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 12, 2023 8:07 am

(Για να μην μείνει αναπάντητη)

Οι αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ είναι φυσικοί και ο αριθμός $\displaystyle{7a^2 +13b}$ διαιρείται με το $\displaystyle{14}$ .

Αν $\displaystyle{70 < 7a + b < 98}$ , να βρεθεί η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο αριθμός $\displaystyle{a^3 +28b}$

Έχουμε: $\displaystyle{7a^2 +13b=7a^2 +7a -7a +13b +b -b = 7a(a+1)+14b -(7a+b)}$ . Ο φυσικός αριθμός $\displaystyle{a(a+1)}$

διαιρείται πάντοτε με το $\displaystyle{2}$ .

(Πράγματι, αν $\displaystyle{a}$ άρτιος, τότε $\displaystyle{a(a+1)}$ άρτιος και αν $\displaystyle{a}$ περιττός τότε $\displaystyle{a+1}$ άρτιος και άρα και πάλι $\displaystyle{a(a+1)}$ άρτιος.
Συνεπώς ο $\displaystyle{a(a+1)}$ είναι πάντα άρτιος και άρα διαιρείται με το $\displaystyle{2}$ )

Τώρα ο αριθμός $\displaystyle{7a(a+1)}$ διαιρείται με το $\displaystyle{7}$ και με το $\displaystyle{2}$ και αφού οι αριθμοί $\displaystyle{7}$ και $\displaystyle{2}$ είναι πρώτοι μεταξύ τους, θα

διαιρείται και με το γινόμενο $\displaystyle{7.2}$ , δηλαδή με το $\displaystyle{14}$ . Επίσης και ο αριθμός $\displaystyle{14b}$ διαιρείται με το $\displaystyle{14}$ και άρα και το

άθροισμα $\displaystyle{7a(a+1)+14b}$ θα διαιρείται με το $\displaystyle{14}$ . Άρα για να διαιρείται ο αριθμός $\displaystyle{7a(a+1)+14b-(7a+b)}$ με το $\displaystyle{14}$ , πρέπει

ο αριθμός $\displaystyle{7a+b}$ να είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{14}$ . Δηλαδή πρέπει $\displaystyle{7a+b=14m}$ , (1) , όπου $\displaystyle{m}$ φυσικός αριθμός.

Από την υπόθεση έχουμε $\displaystyle{70<7a+b<98 \Rightarrow 70<14m <98 \Rightarrow 5 < m < 7 }$ και άρα $\displaystyle{m=6}$ .

Έτσι η (1) γράφεται : $\displaystyle{7a+b=84 \Rightarrow b=84-7a}$ . Και αφού $\displaystyle{a ,b\in N}$ , πρέπει $\displaystyle{84-7a \geq 0 \Leftrightarrow 0\leq a\leq 12}$

Ζητάμε τώρα να βρούμε την ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο αριθμός $\displaystyle{a^3 +28b}$ .

Έχουμε $\displaystyle{a^3 +28b = a^3 +28(84 - 7a)=a^3 - 196a +2352}$

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = x^3 - 196x +2352}$ , με $\displaystyle{x\in [0,12]}$ .

Τότε $\displaystyle{f^{/}(x) = 3x^2 -196}$ , $\displaystyle{f^{/}(x)=0 \Leftrightarrow x=\pm\frac{14}{\sqrt{3}}}$

Κάνοντας τον πίνακα μεταβολών, βρίσκουμε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα $\displaystyle{[0,\frac{14}{\sqrt{3}]}$ και

γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{[\frac{14}{\sqrt{3}},12]}$ .

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι $\displaystyle{7 <\frac{14}{\sqrt{3}} <9}$ , (με ύψωση στο τετράγωνο) και άρα η ελάχιστη τιμή της $\displaystyle{f(x)}$ για $\displaystyle{x}$ φυσικό αριθμό,

επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle{x=8}$ . Τότε $\displaystyle{f(8) =8^3 -196.8 +2352 =1296}$ .

Άρα η ελάχιστη τιμή για τον αριθμό $\displaystyle{a^3 +28b}$ είναι η $\displaystyle{1296}$ .

Πάντρεμα του Γυμνασίου με την Γ Λυκείου

Πάντρεμα του Γυμνασίου με την Γ Λυκείου

Re: Πάντρεμα του Γυμνασίου με την Γ Λυκείου

Re: Πάντρεμα του Γυμνασίου με την Γ Λυκείου

Re: Πάντρεμα του Γυμνασίου με την Γ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση