Μεγιστοποίηση γωνίας

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση γωνίας.png (6.08 KiB) Προβλήθηκε 1050 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, η

είναι διάμεσος .

Ποια είναι η μέγιστη τιμή του $\sin\theta$ ;
Το θέμα έχει και ( έξοχη ) γεωμετρική λύση . Ας την αφήσουμε τελευταία

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 11, 2023 8:01 pm
Το θέμα έχει και ( έξοχη ) γεωμετρική λύση . Ας την αφήσουμε τελευταία

Ξεκινώ, λοιπόν, με Τριγωνομετρία. Ούτως ή άλλως έτσι θα ξεκινούσα...

: Μεγιστοποίηση γωνίας.png (6.08 KiB) Προβλήθηκε 1038 φορές

Έστω

.

$\displaystyle \varepsilon \varphi \theta = \varepsilon \varphi \left( {{\rm B} - {\rm A}{\rm B}{\rm M}} \right) = \frac{{\frac{b}{c} - \frac{b}{{2c}}}}{{1 + \frac{{{b^2}}}{{2{c^2}}}}} = \frac{{bc}}{{2{c^2} + {b^2}}}$

Η οξεία γωνία $\displaystyle \theta$ γίνεται μέγιστη όταν η εφαπτομένη της γίνει μέγιστη, δηλαδή όταν το $\displaystyle \frac{{2{c^2} + {b^2}}}{{bc}} = \frac{{2c}}{b} + \frac{b}{c}$ γίνει ελάχιστο.

Κι αφού το γινόμενό τους είναι σταθερό, το άθροισμα θα γίνει ελάχιστο όταν γίνουν ίσοι (αν γίνεται). Πράγματι, $\displaystyle \frac{{2c}}{b} = \frac{b}{c} \Leftrightarrow {b^2} = 2{c^2} \Leftrightarrow \frac{b}{c} = \sqrt 2$ .

Τότε, $\displaystyle \varepsilon {\varphi ^2}{\theta _{\max }} = \frac{1}{8} \Rightarrow \eta {\mu ^2}{\theta _{\max }} = \frac{1}{9} \Rightarrow \eta \mu {\theta _{\max }} = \frac{1}{3}$ .

Το τρίγωνο μας έχει πλευρές $\displaystyle a=\sqrt{3}c,\ b=\sqrt{2}c,\ c,\ c>0$

#3

Συνεχίζω με μια ακόμα τριγωνομετρική λύση.

2η λύση:

Από Τριγωνομετρικό CEVA, είναι $\displaystyle \frac{{MC}}{{MA}} = \frac{{a\eta \mu \theta }}{{c\eta \mu \left( {{\rm B} - \theta } \right)}} \Leftrightarrow a\eta \mu \theta = c\left( {\eta \mu {\rm B}\sigma \upsilon \nu \theta - \sigma \upsilon \nu {\rm B}\eta \mu \theta } \right)$

$\displaystyle \Leftrightarrow {a^2}\eta \mu \theta = cb\eta \mu \theta - {c^2}\eta \mu \theta \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \theta = \frac{{cb}}{{{a^2} + {c^2}}} = \frac{{cb}}{{2{c^2} + {b^2}}}$

και συνεχίζουμε όπως παραπάνω.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 11, 2023 8:01 pm
Μεγιστοποίηση γωνίας.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , η είναι διάμεσος .

Ποια είναι η μέγιστη τιμή του $\sin\theta$ ;
Το θέμα έχει και ( έξοχη ) γεωμετρική λύση . Ας την αφήσουμε τελευταία

Με σταθερή την υποτείνουσα BC = 4m

, το

διαγράφει το ημικύκλιο διαμέτρου $\overline {OKC} = 2m$ .

Αν ένα σημείο βρίσκεται εκτός κύκλου , η μεγαλύτερη γωνία που «βλέπει» τον κύκλο είναι η γωνία των εφαπτομένων προς αυτόν

: Μεγιστοποίηση γωνίας.png (13.58 KiB) Προβλήθηκε 1000 φορές

Εδώ θέλουμε να «δούμε» από το

τον κύκλο $\left( {K,m} \right)$ , αρκεί το

να είναι εφαπτόμενο τμήμα στο ημικύκλιο .

Δηλαδή: $\boxed{\sin \theta = \frac{{MK}}{{BK}} = \frac{m}{{3m}} = \frac{1}{3}}$

#5

Είναι η ασκηση παράγωγοι 9Β5 στο βιβλιο μου ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ το οποιο θα εκδοθεί εντος της εβδομάδος από τις εκδόσεις 24grammata

#6

R BORIS έγραψε: ↑
Πέμ Ιαν 12, 2023 8:17 am
Είναι η ασκηση παράγωγοι 9Β5 στο βιβλιο μου ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ το οποιο θα εκδοθεί εντος της εβδομάδος από τις εκδόσεις 24grammata

Ροδόλφε καλοτάξιδο, εύχομαι.

: 12-01-2023 Ανάλυση.png (20.25 KiB) Προβλήθηκε 955 φορές

Έστω $\displaystyle B\left( { - a,0} \right),C\left( {a,0} \right),A\left( {a\sigma \upsilon \nu \varphi ,\;a\eta \mu \varphi } \right),\;\alpha > 0,\;0 \le \varphi \le \pi$

Τότε $\displaystyle {\rm M}\left( {\frac{{a\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi + 1} \right)}}{2},\;\frac{{a\eta \mu \varphi }}{2}} \right)$

Είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \theta = \frac{{\frac{{a\eta \mu \varphi }}{2}}}{{\frac{{a\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi + 1} \right)}}{2} + a}} = \frac{{\eta \mu \varphi }}{{\sigma \upsilon \nu \varphi + 3}}$ .

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( \varphi \right) = \frac{{\eta \mu \varphi }}{{\sigma \upsilon \nu \varphi + 3}},\;\;\varphi \in \left[ {0,\pi } \right]$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( \varphi \right) = \frac{{3\sigma \upsilon \nu \varphi + 1}}{{{{\left( {\sigma \upsilon \nu \varphi + 3} \right)}^2}}}$ .

Με μελέτη προσήμου της παραγώγου, βρίσκουμε ότι έχει μέγιστο όταν $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi = - \frac{1}{3} \Rightarrow \eta \mu \varphi = \frac{{\sqrt 8 }}{3}$ .

Τότε $\displaystyle \varepsilon \varphi \theta = \frac{{\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \varepsilon {\varphi ^2}\theta = \frac{1}{8} \Rightarrow \eta {\mu ^2}\theta = \frac{{\varepsilon {\varphi ^2}\theta }}{{1 + \varepsilon {\varphi ^2}\theta }} = \frac{1}{9} \Rightarrow \eta \mu \theta = \frac{1}{3}$ .

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 11, 2023 8:01 pm
Μεγιστοποίηση γωνίας.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , η είναι διάμεσος .

Ποια είναι η μέγιστη τιμή του $\sin\theta$ ;
Το θέμα έχει και ( έξοχη ) γεωμετρική λύση . Ας την αφήσουμε τελευταία

$\displaystyle B{M^2} = {c^2} + \frac{{{b^2}}}{4} = \frac{{4{a^2} - 3{b^2}}}{4}.$ Με νόμο συνημιτόνου στο BMC

βρίσκω:

: Μεγιστοποίηση γωνίας.ΚΑ..png (9.5 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές

$\displaystyle \cos \theta = \frac{{2{a^2} - {b^2}}}{{a\sqrt {4{a^2} - 3{b^2}} }}.$ Αν θεωρήσω σταθερό το

και μεταβλητή το

έχω τη συνάρτηση

$\displaystyle \cos \theta = f(b) = \frac{{2{a^2} - {b^2}}}{{a\sqrt {4{a^2} - 3{b^2}} }},0 < b < a,$ με παράγωγο $\displaystyle f'(b) = \frac{{b(3{b^2} - 2{a^2})}}{{a\sqrt {{{(4{a^2} - 3{b^2})}^3}} }},$ όπου εύκολα

διαπιστώνω ότι παρουσιάζει για $\boxed{b = a\sqrt {\frac{2}{3}} }$ ελάχιστο ίσο με $\displaystyle {(\cos \theta )_{\min }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3},$ οπότε $\boxed{{(\sin \theta )_{\max }} = \frac{1}{3}}$

S.E.Louridas · #8

Ας δούμε και αυτό:
Θεωρούμε AM = MC = x.

Η $\theta$ γίνεται μέγιστη (περί αυτού πρόκειται) όταν το σημείο

είναι το σημείο επαφής του κύκλου που διέρχεται από τα σημεία M, C

και εφάπτεται στην ευθεία AB.

Τότε αν καλέσουμε $h = \angle ACB = \angle MBA,$ έχουμε $\sin \theta = cos2h={\cos ^2}h - {\sin ^2}h\quad \left( 1 \right).$
Παίρνουμε έτσι το ζητούμενο $(sin\theta)_{max} =\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.$

Μεγιστοποίηση γωνίας

Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Re: Μεγιστοποίηση γωνίας

Μέλη σε σύνδεση