Ανίσωση πολύτροπη

KARKAR · #1

Να λυθεί η ανίσωση : (x+e^2)lnx<4x

#2

$\displaystyle{f(x)=(x+e^2)lnx-4x}$

$\displaystyle{f'(x)=lnx+1+e^2/x-4}$

θέτω $\displaystyle{e^2/x=y}$ τότε $\displaystyle{f'(x)=2-lny+y-3=y-1-lny\ge 0}$

$\displaystyle{f \uparrow }$ kai $\displaystyle{f(e^2)=0}$ αρα για $\displaystyle{x>e^2}$ εχουμε το ζητούμενο

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 29, 2021 11:07 am
Να λυθεί η ανίσωση :

Έστω $f(x)=(x+e^2)\ln x-4x, x>0$ με $\displaystyle f'(x) = \ln x - 3 + \frac{{{e^2}}}{x}$ και $\displaystyle f''(x) = \frac{{x - {e^2}}}{{{x^2}}}$

Εύκολα προκύπτει ότι η

έχει στο

ολικό ελάχιστο το

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα και έχει

μοναδική ρίζα το x_0,

δηλαδή $\boxed{f(x) < 0 \Leftrightarrow 0 < x < {e^2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 29, 2021 11:07 am
Να λυθεί η ανίσωση :

Για την

με

είναι $f'(x)=lnx+ \dfrac{x+e^2}{x}-4$ και $f''(x)= \dfrac{x-e^2}{x^2}$ με

μοναδικό σημείο καμπής A(e^2,0)

Είναι κυρτή στο $[e^2,+ \propto )$ και κοίλη στο (0,e^2]

με εφαπτόμενη στο

την

συνεπώς

στο

Ανίσωση πολύτροπη

Ανίσωση πολύτροπη

Re: Ανίσωση πολύτροπη

Re: Ανίσωση πολύτροπη

Re: Ανίσωση πολύτροπη

Μέλη σε σύνδεση