ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΜΕ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

ILIOPOULOS PANAGIOTIS · #1

Έστω

δύο συναρτήσεις ορισμένες και παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$ . Αν οι δύο αυτές συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες,

τότε η συνάρτηση f-g

αποκλείεται να είναι γνησίως αύξουσα.

(α) Να χαρακτηρισθεί ο ισχυρισμός με το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή με το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.

(β) Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας στο ερώτημα (α).

Tolaso J Kos · #2

ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 07, 2020 6:12 am
Έστω δύο συναρτήσεις ορισμένες και παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$ . Αν οι δύο αυτές συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες,

τότε η συνάρτηση αποκλείεται να είναι γνησίως αύξουσα.

(α) Να χαρακτηρισθεί ο ισχυρισμός με το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή με το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής.

(β) Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας στο ερώτημα (α).

(α) Λάθος

(β) Ας πάρουμε $f(x)=2x \; , \; x \in \mathbb{R}$ και $g(x)=x\; , \; x \in \mathbb{R}$ . Τότε $\left( f - g \right)(x) = x \; , \; x \in \mathbb{R}$ η οποία είναι γνησίως αύξουσα.

ILIOPOULOS PANAGIOTIS · #3

Εγώ είχα στο μυαλό μου τις συναρτήσεις $f(x)=e^{x}-e^{-x}$ και g(x)=2x

. Οπότε θεωρώντας την συνάρτηση h(x)=(f-g)(x)

θα έχουμε ότι: $h'(x)=e^{x}+e^{-x}-2\geq 0$ , διότι $e^{x}+\frac{1}{e^{x}}\geq 2\Leftrightarrow e^{2x}-2e^{x}+1\geq 0\Leftrightarrow (e^{x}-1)^{2}\geq 0$ , που ισχύει.

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα.

#4

ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 08, 2020 6:26 am
Εγώ είχα στο μυαλό μου τις συναρτήσεις $f(x)=e^{x}-e^{-x}$ και . Οπότε θεωρώντας την συνάρτηση θα έχουμε ότι: $h'(x)=e^{x}+e^{-x}-2\geq 0$ , διότι $e^{x}+\frac{1}{e^{x}}\geq 2\Leftrightarrow e^{2x}-2e^{x}+1\geq 0\Leftrightarrow (e^{x}-1)^{2}\geq 0$ , που ισχύει.

Άρα η είναι γνησίως αύξουσα.

Σωστό μεν, αλλά όταν γράφουμε αντιπαραδείγματα πρέπει να τα επιλέγουμε έτσι ώστε να αναδεικνύουν "τι τρέχει". Στο παραπάνω βλέπεις μόνο
στο τελευταίο βήμα ότι, ως δια μαγείας, η

είναι γνησίως αύξουσα.

Ας δούμε πώς θα αντιμετώπιζα την εν λόγω άσκηση με αυτό το πρίσμα.

Παίρνω

οποιαδήποτε γνησίως αύξουσα συνάρτηση, της αρεσκείας μου. Παίρνω

άλλη μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση της αρεσκείας μου. Θέτω
f=g+h

. Tέλειωσα αφού f,g

γνήσια αύξουσες και f-g=h

επίσης γνήσια αύξουσα.

Ένα αφοπλιστικά απλό παράδειγμα, που σκοτώνει την άσκηση, είναι να πάρουμε

ως άνω και μετά $f=2h,\, g=h$ .

ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΜΕ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΜΕ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΜΕ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΜΕ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

Re: ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ ΜΕ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

Μέλη σε σύνδεση