Κυβικές τομές

Al.Koutsouridis · #1

Για τον πραγματικό αριθμό

με

, ας είναι $\left ( f(t), t \right)$ οι συντεταγμένες του σημείου τομής της καμπύλης y=x^3+2x^2-15x+5

με την ευθεία y=t

, για το οποίο η τετμημένη

είναι η μέγιστη δυνατή και ας είναι $\left (g(t), t \right )$ το σημείο, για το οποίο η τεμτμημένη

είναι η ελάχιστη δυνατή.

Αν $h(t)=t \cdot \left ( f(t)-g(t)\right )$ , ποσο είναι η τιμή $h^{\prime}(5)$ ;

Θέμα 21/30 των εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας για το 2016, για την ομάδα τύπου Β (κατεύθυνσης).

BAGGP93 · #2

Γεια χαρά.

Ας θεωρήσουμε τη πολυωνυμική συνάρτηση $\phi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\,,\phi(x)=x^3+2\,x^2-15\,x+5$ η οποία έχει παράγωγο

$\phi^{\prime}(x)=3\,x^2+4\,x-15=(3\,x-5)\,(x+3)\,,x\in\mathbb{R}$ . Συνεπώς, η $\phi$ είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα $\left(-\infty,-3\right)\,\,,\left(\dfrac{5}{3},+\infty\right)$

και γνησίως φθίονυσα στο $\left[-3,\dfrac{5}{3}\right]$ . Για κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα, το σύνολο τιμών είναι

$\phi\,\left(\left(-\infty,3\right)\right)=\left(\lim_{x\to -\infty}\phi(x),\phi(3)\right)=\left(-\infty,41\right)$

$\phi\,\left(\left[-3,\dfrac{5}{3}\right]\right)=\left[\phi\,\left(\dfrac{5}{3}\right),\phi(-3)\right]=\left[-\dfrac{265}{27},41\right]$

$\phi\,\left(\left(\dfrac{5}{3},+\infty\right)\right)=\left(\phi\,\left(\dfrac{5}{3}\right),\lim_{x\to +\infty}\phi(x)\right)=\left(-\dfrac{265}{27},+\infty\right)$

Επομένως, για κάθε 0<t<41

υπάρχουν μοναδικά $f(t)>\dfrac{5}{3}\,\,,g(t)<-3$ ώστε να ισχύει

$f^3(t)+2\,f^2(t)-15\,f(t)+5=t\,\,,0<t<41\,\,\,,g^3(t)+2\,g^2(t)-15\,g(t)+5=t\,\,,0<t<41$

Θα γράψω την απόδειξη για την παραγωγισιμότητα της

(ομοίως και η

). Έστω $t\in\left(0,41\right)$ . Για κάθε $0<s<41\,\,,s\neq t$ ισχύει

$f^3(s)-f^3(t)+2\,(f^2(s)-f^2(t))-15\,(f(s)-f(t))=s-t$ ή ισοδύναμα

$(f(s)-f(t))\left[f^2(s)+(f(t)+2)\,f(s)+f^2(t)+2\,f(t)-15\right]=s-t$

(όπου η μεγάλη παρένθεση ξεπερνάει τον αριθμό $\dfrac{105}{9}$ )

Άρα, $\left|f(s)-f(t)\right|=\dfrac{|s-t|}{f^2(s)+(f(t)+2)\,f(s)+f^2(t)+2\,f(t)-15}\leq \dfrac{9}{105}\,|s-t|$

όπου αυτό σημαίνει ότι η

είναι αρχικά συνεχής στο

και επιπρόσθετα,

$\left|\dfrac{f(s)-f(t)}{s-t}\right|=\dfrac{1}{f^2(s)+(f(t)+2)\,f(s)+f^2(t)+2\,f(t)-15}\stackrel{s\to t}{\to}\dfrac{1}{3f^2(t)+4\,f(t)-15}$

οπότε, είναι παραγωγίσιμη στο

με $f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{3\,f^2(t)+4\,f(t)-15}$ .

Τέλος, για την

έχουμε $h^{\prime}(t)=f(t)-g(t)+t\,(f^{\prime}(t)-g^\prime(t))\,\,,0<t<41$ . Λύνουμε την εξίσωση $\phi(x)=5$ , που είναι

$\begin{aligned} x^3+2\,x^2-15\,x+5=5&\iff x^3+2\,x^2-15\,x=0\\&\iff x\,(x^2+2\,x-15)=0\\&\iff x\,(x-3)\,(x+5)=0\\&\iff x\in\left\{-5,0,3\right\}\end{aligned}$

άρα $g(5)=-5\,\,,f(5)=3$ , οπότε, $f^\prime(5)=\dfrac{1}{3\,f^2(5)+4\,f(5)-15}=\dfrac{1}{24}\,\,,g^{\prime}(5)=\dfrac{1}{3\,g^2(5)+4\,g(5)-15}=\dfrac{1}{40}$

Τελικά, $h^{\prime}(5)=f(5)-g(5)+5\,(f^{\prime}(5)-g^{\pirme}(5))=8+5\,\left(\dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{40}\right)=8+5\,\dfrac{5-3}{120}=\dfrac{97}{12}$

Κυβικές τομές

Κυβικές τομές

Re: Κυβικές τομές

Μέλη σε σύνδεση