Κυβικές τομές

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 1223
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Κυβικές τομές

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Πέμ Απρ 16, 2020 11:03 pm

Για τον πραγματικό αριθμό t με 0<t<41, ας είναι \left ( f(t), t \right) οι συντεταγμένες του σημείου τομής της καμπύλης y=x^3+2x^2-15x+5 με την ευθεία  y=t, για το οποίο η τετμημένη x είναι η μέγιστη δυνατή και ας είναι \left (g(t), t \right ) το σημείο, για το οποίο η τεμτμημένη x είναι η ελάχιστη δυνατή.

Αν h(t)=t \cdot \left ( f(t)-g(t)\right ), ποσο είναι η τιμή h^{\prime}(5);



Θέμα 21/30 των εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας για το 2016, για την ομάδα τύπου Β (κατεύθυνσης).



Λέξεις Κλειδιά:
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1403
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Κυβικές τομές

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Παρ Απρ 17, 2020 2:23 pm

Γεια χαρά.

Ας θεωρήσουμε τη πολυωνυμική συνάρτηση \phi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\,,\phi(x)=x^3+2\,x^2-15\,x+5 η οποία έχει παράγωγο

\phi^{\prime}(x)=3\,x^2+4\,x-15=(3\,x-5)\,(x+3)\,,x\in\mathbb{R}. Συνεπώς, η \phi είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα \left(-\infty,-3\right)\,\,,\left(\dfrac{5}{3},+\infty\right)

και γνησίως φθίονυσα στο \left[-3,\dfrac{5}{3}\right]. Για κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα, το σύνολο τιμών είναι

\phi\,\left(\left(-\infty,3\right)\right)=\left(\lim_{x\to -\infty}\phi(x),\phi(3)\right)=\left(-\infty,41\right)

\phi\,\left(\left[-3,\dfrac{5}{3}\right]\right)=\left[\phi\,\left(\dfrac{5}{3}\right),\phi(-3)\right]=\left[-\dfrac{265}{27},41\right]

\phi\,\left(\left(\dfrac{5}{3},+\infty\right)\right)=\left(\phi\,\left(\dfrac{5}{3}\right),\lim_{x\to +\infty}\phi(x)\right)=\left(-\dfrac{265}{27},+\infty\right)

Επομένως, για κάθε 0<t<41 υπάρχουν μοναδικά f(t)>\dfrac{5}{3}\,\,,g(t)<-3 ώστε να ισχύει

f^3(t)+2\,f^2(t)-15\,f(t)+5=t\,\,,0<t<41\,\,\,,g^3(t)+2\,g^2(t)-15\,g(t)+5=t\,\,,0<t<41

Θα γράψω την απόδειξη για την παραγωγισιμότητα της f (ομοίως και η g). Έστω t\in\left(0,41\right). Για κάθε 0<s<41\,\,,s\neq t ισχύει

f^3(s)-f^3(t)+2\,(f^2(s)-f^2(t))-15\,(f(s)-f(t))=s-t ή ισοδύναμα

(f(s)-f(t))\left[f^2(s)+(f(t)+2)\,f(s)+f^2(t)+2\,f(t)-15\right]=s-t

(όπου η μεγάλη παρένθεση ξεπερνάει τον αριθμό \dfrac{105}{9})

Άρα, \left|f(s)-f(t)\right|=\dfrac{|s-t|}{f^2(s)+(f(t)+2)\,f(s)+f^2(t)+2\,f(t)-15}\leq \dfrac{9}{105}\,|s-t|

όπου αυτό σημαίνει ότι η f είναι αρχικά συνεχής στο t και επιπρόσθετα,

\left|\dfrac{f(s)-f(t)}{s-t}\right|=\dfrac{1}{f^2(s)+(f(t)+2)\,f(s)+f^2(t)+2\,f(t)-15}\stackrel{s\to t}{\to}\dfrac{1}{3f^2(t)+4\,f(t)-15}

οπότε, είναι παραγωγίσιμη στο t με f^{\prime}(t)=\dfrac{1}{3\,f^2(t)+4\,f(t)-15}.

Τέλος, για την h έχουμε h^{\prime}(t)=f(t)-g(t)+t\,(f^{\prime}(t)-g^\prime(t))\,\,,0<t<41. Λύνουμε την εξίσωση \phi(x)=5, που είναι

\begin{aligned} x^3+2\,x^2-15\,x+5=5&\iff x^3+2\,x^2-15\,x=0\\&\iff x\,(x^2+2\,x-15)=0\\&\iff x\,(x-3)\,(x+5)=0\\&\iff x\in\left\{-5,0,3\right\}\end{aligned}

άρα g(5)=-5\,\,,f(5)=3, οπότε, f^\prime(5)=\dfrac{1}{3\,f^2(5)+4\,f(5)-15}=\dfrac{1}{24}\,\,,g^{\prime}(5)=\dfrac{1}{3\,g^2(5)+4\,g(5)-15}=\dfrac{1}{40}

Τελικά, h^{\prime}(5)=f(5)-g(5)+5\,(f^{\prime}(5)-g^{\pirme}(5))=8+5\,\left(\dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{40}\right)=8+5\,\dfrac{5-3}{120}=\dfrac{97}{12}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 1 επισκέπτης