Από κει και πάνω

KARKAR · #1

$\bigstar$ α) Αποδείξτε ότι για κάθε x>0

, ισχύει : e^x>x^2+1

β) Βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης : f(x)=3e^x-3x-x^3

panagiotis iliopoulos · #2

α) Έστω η συνάρτηση g(x)=e^x-x^2-1

.

Είναι g'(x)=e^x-2x

και

. Παρατηρούμε από το πρόσημο της δευτέρας παραγώγου ότι η

έχει ελάχιστο στο $x_{0}=ln2$ το

g'(ln2)=2-ln4> 0

διότι

.

Άρα $g'(x)\geq 2-ln4> 0\Rightarrow g'(x)> 0$ οπότε η

είναι γνησίως αύξουσα στο R. Συνεπώς $x> 0\Rightarrow g(x)> g(0)\Rightarrow e^x-x^2-1> 0\Rightarrow e^x> x^2+1$ .

β) Είναι f'(x)=3e^x-3x^2-3=3(e^x-x^2-1)=3g(x).

. Οπότε το πρόσημο της

ταυτίζεται με το πρόσημο της

.

Έχουμε ότι g(x)< 0

για κάθε

και $g(x)\geq 0$ για κάθε $x\geq 0$ .

Οπότε η

είναι γνησίως φθίνουσα στο (-00,0]

και γνησίως αύξουσα στο [0,+00)

.

Συμπεραίνουμε ότι η

παρουσιάζει ελάχιστο στο $x_{1}=0$ το f(0)=3

.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 29, 2020 1:18 pm
$\bigstar$ α) Αποδείξτε ότι για κάθε , ισχύει :

Ας δούμε το α) αλλιώς. Θα κάνω χρήση της γνωστής $e^x\ge 1+x$ για κάθε

.

$\displaystyle{e^x=ee^{x-1}\ge e(1+x-1)=ex}$ . Ολοκληρώνοντας την τελευταία από

έως

, έχουμε $\displaystyle{e^X-1\ge \frac {e}{2}X^2}$ .

Άρα $\displaystyle{e^X\ge 1+ \frac {e}{2}X^2}$ , που είναι ισχυρότερη από την ζητούμενη.

#4

Άλλη μια εναλλακτική για το (α)

$\displaystyle \begin{array}{l} {e^x} > {x^2} + 1 \Leftrightarrow \frac{{{e^x}}}{{{x^2} + 1}} > 1\\ f(x) = \frac{{{e^x}}}{{{x^2} + 1}} \Rightarrow f'(x) = \frac{{{e^x}{{(x - 1)}^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} \ge 0\\ f(0) = 1 \Rightarrow f(x) > 1,x \in (0, + \infty ) \end{array}$

Από κει και πάνω

Από κει και πάνω

Re: Από κει και πάνω

Re: Από κει και πάνω

Re: Από κει και πάνω

Μέλη σε σύνδεση