Ακραία και οριακά

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11918
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ακραία και οριακά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Φεβ 27, 2018 11:54 am

Είναι η συνάρτηση : f(x)=\sqrt{1-cosx} , παραγωγίσιμη στο [0,2\pi] ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9823
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ακραία και οριακά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Φεβ 27, 2018 12:30 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Φεβ 27, 2018 11:54 am
Είναι η συνάρτηση : f(x)=\sqrt{1-cosx} , παραγωγίσιμη στο [0,2\pi] ;
Η f είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle (0,2\pi ) με παράγωγο \displaystyle f'(x) = \frac{{\sin x}}{{2\sqrt {1 - cosx} }}

\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 - \cos x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{2\frac{x}{2}}}\sqrt 2  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}

Ομοίως βρίσκουμε \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 2{\pi ^ - }} \frac{{f(x) - f(2\pi )}}{{x - 2\pi }} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}

Άρα είναι παραγωγίσιμη στο [0,2\pi]


Παρατήρηση: Η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}. Για την ακρίβεια, δεν είναι παραγωγίσιμη σε κανένα x = 2k\pi ,k \in\mathbb{Z}


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1860
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Ακραία και οριακά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Τρί Φεβ 27, 2018 1:28 pm

Παιχνιδιάρης ο KARKAR , θα είμαι πολύ καλός μαθητής σήμερα.

Θα ξεκινήσω ως πολύ καλός μαθητής-μου είπαν ότι θα γίνω μηχανολόγος- που στην Β' Λυκείου διάβαζε:

\displaystyle 1 - \cos x = 1 - \cos 2\frac{x}{2} = 1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right) = 2{\sin ^2}\frac{x}{2}

Άρα \displaystyle f\left( x \right) = \sqrt 2 \left| {\sin \frac{x}{2}} \right|\mathop  = \limits^* \sqrt 2 \sin \frac{x}{2},x \in \left[ {0,2\pi } \right]

γιατί, \displaystyle *0 \leqslant x \leqslant 2\pi  \Rightarrow 0 \leqslant \frac{x}{2} \leqslant \pi  \Rightarrow \sin \frac{x}{2} \geqslant 0

η οποία αποτελεί σύνθεση των \displaystyle k\left( x \right) = \sqrt 2 \sin x,l\left( x \right) = \frac{x}{2}

άρα η \displaystyle l\left( x \right) = \frac{x}{2} είναι παραγωγίσιμη στο R άρα θα είναι και στο \displaystyle \left[ {0,2\pi } \right] επίσης η \displaystyle k\left( x \right) = \sqrt 2 \sin x είναι παραγωγίσιμη σε όλο R και παρατηρούμε ότι είναι παραγωγίσιμη και στο \displaystyle l\left( {\left[ {0,2\pi } \right]} \right) = \left[ {0,\pi } \right], άρα η σύνθεση τους είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle \left[ {0,2\pi } \right] και ισχύει: \displaystyle f'\left( x \right) = k'\left( {l\left( x \right)} \right)l'\left( x \right)

Για τα παραπάνω βασιστήκαμε στο:
Καταγραφή11.PNG
Καταγραφή11.PNG (40.28 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές

Όμως δεν ήμουν καλός μαθητής στην Β' Λυκείου και δεν ήξερα τριγωνομετρία καλά καλά, ήμουν πολύ φιλότιμος στην Γ' -μου είπαν ότι θα γινόμουν πληροφορικός-και διάβασα ο άτιμος , ναι διάβασα πάρα πολύ.

Η συνάρτηση \displaystyle f\left( x \right) = \sqrt {1 - \cos x} ,x \in \left[ {0,2\pi } \right] είναι σύνθεση των συναρτήσεων \displaystyle k\left( x \right) = \sqrt x ,l\left( x \right) = 1 - \cos x.

άρα καθώς η \displaystyle l\left( x \right) = 1 - \cos x είναι παραγωγίσιμη στο R άρα θα είναι και στο \displaystyle \left[ {0,2\pi } \right] όμως η συνάρτηση \displaystyle k\left( x \right) = \sqrt x γνωρίζουμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle \left( {0, + \infty } \right) και άρα όχι στο μηδέν που περιέχεται στο \displaystyle l\left( {\left[ {0,2\pi } \right]} \right) = \left[ {0,2} \right], συνεπώς η \displaystyle f\left( x \right) = \sqrt {1 - \cos x} δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0 και στο 2\pi



Ένα άλλο παιδάκι πιο πριν, πολύ διαβασμένο και αυτό-σίγουρα θα γίνει μαθηματικός- χρησιμοποίησε κάτι άλλο που έγραφε το βιβλίο.
Καταγραφή12.PNG
Καταγραφή12.PNG (41.44 KiB) Προβλήθηκε 422 φορές
και έκανε την παρακάτω λύση
george visvikis έγραψε:
Τρί Φεβ 27, 2018 12:30 pm

Η f είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle (0,\pi ) με παράγωγο \displaystyle f'(x) = \frac{{\sin x}}{{2\sqrt {1 - cosx} }}

\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 - \cos x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sin \frac{x}{2}}}{{2\frac{x}{2}}}\sqrt 2  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}

Ομοίως βρίσκουμε \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to 2{\pi ^ - }} \frac{{f(x) - f(2\pi )}}{{x - 2\pi }} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}

Άρα είναι παραγωγίσιμη στο [0,2\pi]
Βγήκαν και άρχισαν την κουβέντα που λέτε.....


Υ.Γ. Έγραφα το κείμενο και είχα μια περιπαικτική διάθεση μην δίνετε πολύ σημασία στις επιστήμες που αναφέρω.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης