Εύρεση ελάχιστου φυσικού.

M.S.Vovos · #1

Να βρείτε τον ελάχιστο φυσικό αριθμό

ώστε η εξίσωση:

$\displaystyle{e^{x}=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}}$
να έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες.

#2

Mια υπόδειξη μόνο

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Για $\displaystyle{n=0}$ η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{e^x=1}$ που έχει μόνο μία λύση

Για $\displaystyle{n=1}$ η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{e^x=1+x}$ που έχει μόνο μία λύση αφού η $\displaystyle{e^x}$ είναι κυρτή και $\displaystyle{1+x}$ εφαπτομενη της

Λυση με εποπτεία
Για $\displaystyle{n=2}$ η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{e^x=1+x+x^2}$ που θα δειξουμε ότι έχει 2 λύσεις
Θέτω $\displaystyle{f(x)=e^x-1-x-x^2}$ τότε $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)=+\infty,f(1)=e-3<0,f(0)=0}$ και $\displaystyle{f'(x)=e^x-1-x-x>0}$ για $\displaystyle{x<0}$ kai επειδή $\displaystyle{f(0)=0}$ η $\displaystyle{f}$ δεν έχει άλλη ρίζα στο $\displaystyle{(-\infty,0) }$ άρα 2 τουλαχιστο η μονοτονία της $\displaystyle{f}$ εξασφαλίζει το 2 ακριβώς

Για $\displaystyle{n=3}$ η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{e^x=1+x+x^2+x^3}$ που έχει 3 λύσεις ακριβώς
Θέτω $\displaystyle{g(x)=e^x-1-x-x^2-x^3}$ τότε $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}g(x)=+\infty,g(1)=e-4<0,g(0)=0,g(-1/2)<0,\lim_{x \to -\infty}g(x)=+\infty}$ η μονοτονία της $\displaystyle{g}$ εξασφαλίζει το 3 ακριβώς. Mαλιστα αφού $\displaystyle{g(0)=g’(0)=0}$ ο άξονας χ εφάπτεται της Cg Aκριβέστερα μια γραφική λύση εχει ως εξης

1. $\displaystyle{g’’’>0 ,x>ln2}$ και $\displaystyle{g’’’<0 , x<ln2}$
2.ο άξονας χ μπορεί να τέμνει την g’’ το πολύ σε δυο σημεία από τα ΘΒ τουλάχιστον σε δύο Άρα ακριβώς δυο
3.ο άξονας χ μπορεί να τέμνει την g’ το πολύ σε τρία σημεία από τα ΘΒ τουλάχιστον σε τρία Άρα ακριβώς τρία
4.ο άξονας χ μπορεί να τέμνει την g το πολύ σε 4 σημεία αφού $\displaystyle{g(0)=g’(0)=0}$ ο άξονας χ εφάπτεται της Cg αρα τα σημεία είναι τρία όπως ισχυριστήκαμε

Εύρεση ελάχιστου φυσικού.

Εύρεση ελάχιστου φυσικού.

Re: Εύρεση ελάχιστου φυσικού.

Re: Εύρεση ελάχιστου φυσικού.

Μέλη σε σύνδεση