Παράγωγος και ελάχιστο

blazestone · #1

Έστω $f : [a,b] \rightarrow R$ μια συνεχής συνάρτηση με f'(a) < 0 < f'(b).

Να δείξετε ότι η συνάρτηση

παρουσιάζει ελάχιστο στο (a,b) .

Tolaso J Kos · #2

blazestone έγραψε:Έστω $f : [a,b] \rightarrow R$ μια συνεχής συνάρτηση με Να δείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο

Η πρόταση είναι γνωστή ως το θεώρημα ${\rm Darboux}$ .

Επειδή f'(a)<0

τότε από τον ορισμό ισχύει $\displaystyle{\lim_{x\to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} =f'(a)<0}$ άρα υπάρχει $\delta_1>0$ τέτοιο ώστε για κάθε $x \in (a, a+\delta_1)$ να ισχύει f(x)<f(a)

. Όμοια επειδή $\displaystyle{ \lim_{x\to \beta^-} \frac{f(x)-f(\beta)}{x-\beta} =f'(\beta)>0}$ υπάρχει $\delta_2>0$ τέτοιο ώστε για κάθε $x \in (\beta-\delta_2, \beta)$ να ισχύει $f(x)>f(\beta)$ .

Οπότε η

δε παρουσιάζει ακρότατο ούτε στο x_0=a

ούτε στο $x_0=\beta$ . Όμως επειδή η

είναι συνεχής στο διάστημα $[a, \beta]$ γνωρίζουμε ότι θα παίρνει ελάχιστη τιμή. Αφού δε την παίρνει στα άκρα , θα υπάρχει $\xi \in (a, \beta)$ στο οποίο η

θα παρουσιάζει ελάχιστο.

Και η απόδειξη τελείωσε.

MarKo · #3

Είναι $f(x)<f(\beta)$ αφού $x<\beta$ .

Tolaso J Kos · #4

MarKo έγραψε:Είναι $f(x)<f(\beta)$ αφού $x<\beta$ .

Σωστά.. είναι αρνητικό το κάτω.. δεν αλλάζει κάτι στην απόδειξη...
Το σκεπτικό είναι το ίδιο...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Tolaso J Kos έγραψε:
blazestone έγραψε:Έστω $f : [a,b] \rightarrow R$ μια συνεχής συνάρτηση με Να δείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο
Η πρόταση είναι γνωστή ως το θεώρημα ${\rm Darboux}$ .

Επειδή τότε από τον ορισμό ισχύει $\displaystyle{\lim_{x\to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} =f'(a)<0}$ άρα υπάρχει $\delta_1>0$ τέτοιο ώστε για κάθε $x \in (a, a+\delta_1)$ να ισχύει . Όμοια επειδή $\displaystyle{ \lim_{x\to \beta^-} \frac{f(x)-f(\beta)}{x-\beta} =f'(\beta)>0}$ υπάρχει $\delta_2>0$ τέτοιο ώστε για κάθε $x \in (\beta-\delta_2, \beta)$ να ισχύει $f(x)>f(\beta)$ .

Οπότε η δε παρουσιάζει ακρότατο ούτε στο ούτε στο $x_0=\beta$ . Όμως επειδή η είναι συνεχής στο διάστημα $[a, \beta]$ γνωρίζουμε ότι θα παίρνει ελάχιστη τιμή. Αφού δε την παίρνει στα άκρα , θα υπάρχει $\xi \in (a, \beta)$ στο οποίο η θα παρουσιάζει ελάχιστο.

Και η απόδειξη τελείωσε.

Εκτός του ότι $f(x)< f(\beta )$ ( $b\equiv \beta$ εκφώνηση-λύση)
δεν είναι σωστό ότι η

δεν έχει ακρότατο στα $a,\beta$
Μπορεί να έχει μέγιστο(τοπικό η ολικό)
Το σωστό είναι ότι στα $a,\beta$ δεν μπορεί να έχει ελάχιστο(τοπικό η ολικό)
Αρα την ελάχιστη τιμή την παίρνει σε εσωτερικό σημείο που εκεί η παράγωγος μηδενίζετε.

Tolaso J Kos · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: δεν είναι σωστό ότι η δεν έχει ακρότατο στα $a,\beta$

Σταύρο σωστά. Αυτή είναι η σωστή διατύπωση. Έχεις δίκιο.
Ορισμένα πράγματα ξεφεύγουν στο πληκτρολόγιο.

Παράγωγος και ελάχιστο

Παράγωγος και ελάχιστο

Re: Παράγωγος και ελάχιστο

Re: Παράγωγος και ελάχιστο

Re: Παράγωγος και ελάχιστο

Re: Παράγωγος και ελάχιστο

Re: Παράγωγος και ελάχιστο

Μέλη σε σύνδεση