Γινόμενο θετικών ίσο με ένα

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΤΤΑ

dennys · #2

orestisgotsis έγραψε:Αν είναι ${{\alpha }^{x}}+{{\beta }^{x}}+{{\gamma }^{x}}\ge 2+\sigma \upsilon \nu x$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ με $\alpha ,\beta ,\gamma \in \left( 0,+\infty \right)$ , να αποδείξετε ότι $\alpha \cdot \beta \cdot \gamma =1$ .

Aν θεωρήσω μια συνάρτηση $f(x)=a^x+b^x+c^x-2-cosx\ge 0=f(0)$ αρα απο Θ.ΦΕΡΜΑ έχουμε $f{'}(0)=0\Rightarrow$

$f{'}(x)=a^x{lna}+b^x{lnb}+c^x{lnc}+sinx\Rightarrow if x=0 ,\,\,\ lna+lnb+lnc=0=ln1\Rightarrow ln(abc)=ln1\Rightarrow abc=1$

φιλικά dennys

parmenides51 · #3

Δεδομένο ανισοισότητα, ζητούμενο ισότητα, μυρίζει Θ. Fermat

#4

Ισχύει επίσης και το αντίστροφο: Αν $\alpha \beta \gamma = 1$ τότε για κάθε $x \in \mathbb{R}$ από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε $\displaystyle{ \alpha^x + \beta^x + \gamma^x \geqslant 3 \sqrt[3]{\alpha^x \beta^x \gamma^x} = 3 \geqslant 2 + \cos{x}.}$

Γινόμενο θετικών ίσο με ένα

Γινόμενο θετικών ίσο με ένα

Re: Γινόμενο θετικών ίσο με ένα

Re: Γινόμενο θετικών ίσο με ένα

Re: Γινόμενο θετικών ίσο με ένα

Μέλη σε σύνδεση