Άσκηση με όρια

wavelet · #1

Έστω $f(x) = \dfrac{a^{x} - n^{x}}{x}$ , όπου $n \in \mathbb{N}^{*}$ και a>0

i) Να υπολογίσετε το όριο $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)$

ii) Για ποίες τιμές του

ισχύει $\lim_{y \rightarrow \infty}\biggl(\lim_{x \rightarrow 0}f(x)\biggr)^{y} = 0$

BAGGP93 · #2

i) $D(f)=\left(-\infty,0\right)\bigcup{\left(0,+\infty \right)}$
Οι συναρτήσεις g(x)=a^x-n^x

και

είναι παραγωγίσιμες $\forall x \in \left(-d,0 \right)\bigcup{\left(0,d \right)}$ ,όπου d>0

και αφού

$\lim_{x\rightarrow 0}(a^x-n^x)=\lim_{x\rightarrow 0}x=0$ τότε εφαρμόζοντας τον κανόνα του L'Hopital θα έχω

$\lim_{x\rightarrow 0}{a^x-n^x\over x}=\lim_{x\rightarrow 0}(a^xlna-n^xlnn)=lna-lnn=ln({a\over n})$

ii) $\lim_{y\rightarrow +\infty}(ln({a\over n}))^y=0\Leftrightarrow 0<ln({a\over n})<1\Leftrightarrow 1<{a\over n}<e\Leftrightarrow {1\over e}<{n\over a}<1\Leftrightarrow <{a\over e}<n<a$
Άρα για όλους τους φυσικόυς αριθμούς που ικανοποιούν την παραπάνω σχέση

Άσκηση με όρια

Άσκηση με όρια

Re: Άσκηση με όρια

Μέλη σε σύνδεση