ΜΙΑ ΥΠΑΡΞΙΑΚΗ

[mathada]

Δίνεται η συνάρτηση f : [0,1]-> [0,+o0 ) με f(0)=0,που είναι παραγωγίσιμη και
δεν είναι η σταθερή συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι :
Α)Υπάρχει ξε(0,1) ώστε (1-ξ) f ΄(ξ)=f(ξ).
Β) Yπάρχουν α,β με 0<α<β<1,ώστε Re(z1z2)<0 me z1=β+i,z2=f΄(α)+if΄(β).
Με έχει δυσκολέψει το β.Συγνώμη για τη γραφή.

[dement]

Δινω μια απαντηση για το β.

Πρεπει να αποδειξεις την υπαρξη σημειων με . Αφου η συναρτηση παιρνει μη αρνητικες τιμες και δεν ειναι σταθερη, θα υπαρχει σημειο με (ΘΜΤ με το ). Διαλεγουμε λοιπον αυτο το σημειο και θεωρουμε τη συναρτηση η οποια, αν και οχι απαραιτητα συνεχης, εχει την ιδιοτητα των ενδιαμεσων τιμων (Darboux).

Παρατηρουμε οτι . Αρα, απο την ιδιοτητα των ενδιαμεσων τιμων, θα υπαρχει με με το οποιο ειναι και το που ζηταμε.

Δημητρης Σκουτερης

[johnbausis]

Μια πιο σχολικη λύση είναι η εξης:
Κάνω ΘΜΤ στο [0,ξ] για την f οπου το ξ ειναι αυτο του πρωτου ερωτηματος
οπότε έχω:f΄(χο)=f(ξ)/ξ=(1-ξ)f΄(ξ)/ξ<f΄(ξ)/ξ
Αρα τα ζητουμενα α,β είναι τα χο,ξ