Σύγκριση ανομοίων

KARKAR · #1

Έστω :

. Να συγκριθούν οι αριθμοί : $y+\sqrt{1+x^2}$ και : $x+\sqrt{1+y^2}$ .

Μπορούμε χωρίς χρήση παραγώγου ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 16, 2024 6:59 pm
Έστω : . Να συγκριθούν οι αριθμοί : $y+\sqrt{1+x^2}$ και : $x+\sqrt{1+y^2}$ .

Μπορούμε χωρίς χρήση παραγώγου ;

Ισοδύναμα, θέλουμε να συγκρίνουμε τα $y-\sqrt{1+y^2}$ και $x-\sqrt{1+x^2}$ . Πολλαπλασιάζοντας τώρα το καθένα επί τον συζυγή του, θέλουμε α συγκρίνουμε τα

$\dfrac {-1} {y+\sqrt{1+y^2}}$ και $\dfrac {-1} {x+\sqrt{1+x^2}}$ .

Αλλά αυτό είναι άμεσο αφού, συγκρίνοντας όρο προς όρο τους προσθεταίους, έχουμε $y+\sqrt{1+y^2} > x+\sqrt{1+x^2}$ .

Συνοψίζοντας, έχουμε $y+\sqrt{1+x^2} > x+\sqrt{1+y^2}$

yzavna · #3

- τι θα πει "ανόμοιοι";

KARKAR · #4

Γενικά ανόμοια είναι αυτά που δεν μοιάζουν .

Στην περίπτωσή μας τα : $y+\sqrt{1+x^2}$ και : $x+\sqrt{1+y^2}$ , θεωρούνται ανόμοια ,

ενώ θα μπορούσαμε να πούμε ότι τα : $y-\sqrt{1+y^2}$ και : $x-\sqrt{1+x^2}$ , είναι όμοια ,

ας πούμε ότι για την συνάρτηση : $f(t)=t-\sqrt{1+t^2}$ , πρόκειται για τα f(y) , f(x)

...

yzavna · #5

.
mathematica.gr - Αναζήτηση : ανόμοιοι
.
mathematica.gr - Αναζήτηση : ανόμοια
.

#6

yzavna έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 27, 2024 8:24 pm
- τι θα πει "ανόμοιοι";

yzavna έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 27, 2024 11:36 pm
.
mathematica.gr - Αναζήτηση : ανόμοιοι
.
mathematica.gr - Αναζήτηση : ανόμοια
.

Διαισθάνομαι ότι κάτι σε μπερδεύει εδώ, γι' αυτό και η παραπομπή σε ένα φάσμα διαφορετικών χρήσεων της λέξης "ανόμοια".

Ας είμαι, λοιπόν, λίγο πιο αναλυτικός.

Η λέξη "ανόμοια" όπως την χρησιμοποίησε ο Θανάσης (KARKAR) παραπάνω, δεν είναι Μαθηματικός όρος αλλά περιγραφικός. Είναι σαν να λέμε "τα μήλα και τα πορτοκάλια είναι ανόμοια πράγματα". Όλοι κατανοούμε τι εννοούμε με τον χαρακτηρισμό ¨ανόμοια" στην συγκεκριμένη φράση.

Στην θέση του "ανόμοιος" μπορούσαμε να βάλουμε κάποια συνώνυμά του, όπως "διαφορετικός", "αταίριαστος", "αλλιώτικος", "ασύγκριτος", "μη συγκρίσιμος", "ετεροειδής", "ξεχωριστός", "διακριτός", "ασυνταύτιστος", "εκάτερος", ή να χρησιμοποιήσουμε παροιμιώδεις εκφράσεις όπως "απέχει παρασάγγας", "μέρα με την νύχτα" , "άλλα τα μάτια του λαγού και άλλα της κουκουβάγιας", "άλλα είναι τ' άλλα και άλλο της Παρασκευής το γάλα", και λοιπά.

Με λίγα λόγια, μην ψάχνεις ορισμό του "ανόμοιος" στην συγκεκριμένη χρήση του από τον Θανάση. Απλά είναι ένας χαριτωμένος τίτλος σε μία άσκηση που ζητά να συγκρίνεις παραστάσεις που είναι μεικτές ως προς τα

και

. Και αν προσέξεις την λύση στο ποστ #2, το πρώτο βήμα είναι να φέρει τις παραστάσεις με "ομοειδείς" όρους σε κάθε μέλος.

KARKAR · #7

Η συνάρτηση : $f(t)=t-\sqrt{1+t^2}$ , είναι όντως γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Γιατί ; ( Δείξτε το με διαφορετικό τρόπο από αυτόν του κ. Λάμπρου )

#8

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Δεκ 28, 2024 1:42 pm
Η συνάρτηση : $f(t)=t-\sqrt{1+t^2}$ , είναι όντως γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$ .

Γιατί ;

Υποθέτω ότι επιτρέπονται οι παράγωγοι, λόγω φακέλου. Με αυτό κατά νου:

$f'(t) = 1 - \dfrac {t} {\sqrt {1+t^2}}$ . 'Ομως $\sqrt {1+t^2} > \sqrt {t^2} =|t| \ge t$ , οπότε f'(t)>0

για κάθε

. Έπεται το ζητούμενο.

S.E.Louridas · #9

Επειδή τα πάντα είναι θετικά υπάρχει και η άποψη να συγκρίνω τα τετράγωνά τους.

Άρα παίρνουμε: $y > x > 0 \Rightarrow {y^2}\left( {1 + {x^2}} \right) > {x^2}\left( {1 + {y^2}} \right) \Rightarrow$

$2y\sqrt {1 + {x^2}} > 2x\sqrt {1 + {y^2}} \Rightarrow {\left( {y + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)^2} > {\left( {x + \sqrt {1 + {y^2}} } \right)^2} \Rightarrow$

$y + \sqrt {1 + {x^2}} > x + \sqrt {1 + {y^2}} .$

Σύγκριση ανομοίων

Σύγκριση ανομοίων

Re: Σύγκριση ανομοίων

Re: Σύγκριση ανομοίων

Re: Σύγκριση ανομοίων

Re: Σύγκριση ανομοίων

Re: Σύγκριση ανομοίων

Re: Σύγκριση ανομοίων

Re: Σύγκριση ανομοίων

Re: Σύγκριση ανομοίων

Μέλη σε σύνδεση