Αυστηρή εκθετικοπολυωνυμική ανισότητα

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Να δείξετε ότι για κάθε $x\in\mathbb{R}$ ισχύει

$x^3+e^x-2x\ {\color{blue}>}\ 2x^2(1-e^{-x})$

#2

Η ανισότητα γράφεται και ως $e^{2x}+(x^3-2x^2-2x)e^x+2x^2>0,$ οπότε:

-- Για $x\geq 0$ ισχύει η $x^3-2x^2-2x\geq -3x\leftrightarrow x(x-1)^2\geq 0,$ οπότε αρκεί να ισχύει η

$e^{2x}-3xe^x+2x^2>0\leftrightarrow (e^x-x)(e^x-2x)>0.$

-- Για $-\sqrt{2}\leq x\leq 0$ ισχύει η $x^3-2x^2-2x\geq 2\sqrt{2}x\leftrightarrow x(x+\sqrt{2})(x-2-\sqrt{2})\geq 0,$ οπότε αρκεί να ισχύει η

$e^{2x}+2\sqrt{2}xe^x+2x^2>0\leftrightarrow (e^x+\sqrt{2}x)^2>0.$

-- Για $x\leq -\sqrt{2}$ ισχύει η $2x^2\geq 4,$ οπότε αρκεί να ισχύει η |x^3-2x^2-2x|e^x<4

για $x\leq -\sqrt{2}:$ θέτοντας y=-x

και παρατηρώντας ότι x^3-2x^2-2x<0

για $x<1-\sqrt{3}$ συμπεραίνουμε ότι αρκεί να ισχύει η 4e^y>y^3+2y^2-2y

για $y\geq \sqrt{2}$ (στην πραγματικότητα για $y\geq 0$ , εύκολο μέσω δυναμοσειράς ή/και διαδοχικών παραγωγίσεων).

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #3

Την εκδοχή μου για $x\ge0$ δεν θα την παραθέσω, γιατί η (εξαιρετική) προσέγγιση
του κυρίου Μπαλόγλου είναι πολύ πιο σύντομη σε σχέση με τη δική μου

Θα παραθέσω μόνο την εκδοχή x<0

που είναι λίγο πιο απλή:
Θεωρούμε την ανισότητα e^x>1+x

και την παραλλαγή της $e^{-x}>1-x$
Οπότε γράφοντας τη ζητούμενη ισοδύναμα:
$x^3+e^x-2x+2x^2(e^{-x}-1)>0$
θα έχουμε τα εξής:
1ο μέλος ζητουμένης >x^3+(x+1)-2x+2x^2(-x)

#4

Ιάσων σ' ευχαριστούμε, η συζήτηση αυτή δείχνει, για μια ακόμη φορά, την σημασία και της συνεργασίας και της πολλαπλής προσέγγισης στο ίδιο πρόβλημα.

Αυστηρή εκθετικοπολυωνυμική ανισότητα

Αυστηρή εκθετικοπολυωνυμική ανισότητα

Re: Αυστηρή εκθετικοπολυωνυμική ανισότητα

Re: Αυστηρή εκθετικοπολυωνυμική ανισότητα

Re: Αυστηρή εκθετικοπολυωνυμική ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση