Ασυμμετρία

#1

Έστω $\displaystyle f(x) = {e^x} - ex,\,\,\,x \in R$
Δείξετε ότι $\displaystyle f(1 + x) > f(1 - x)$ , για κάθε $\displaystyle x > 0$ .

#2

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 09, 2024 8:08 am
Έστω $\displaystyle f(x) = {e^x} - ex,\,\,\,x \in R$
Δείξετε ότι $\displaystyle f(1 + x) > f(1 - x)$ , για κάθε $\displaystyle x > 0$ .

Θεωρώ τη συνάρτηση $\displaystyle g(x) = {e^x} - {e^{ - x}} - 2x, x>0$ με παράγωγο

$\displaystyle g'(x) = {e^x} + {e^{ - x}} - 2 > (x + 1) + (1 - x) - 2 = 0,$ άρα η

είναι γνησίως αύξουσα, οπότε g(x)>g(0)=0.

$\displaystyle {e^x} - {e^{ - x}} - 2x > 0 \Leftrightarrow {e^{x + 1}} - {e^{1 - x}} - 2ex > 0 \Leftrightarrow {e^{x + 1}} - {e^{1 - x}} - e(x + 1 - 1 + x) > 0 \Leftrightarrow$

$\displaystyle {e^{x + 1}} - e(x + 1) > {e^{1 - x}} - e(1 - x) \Leftrightarrow$ $\boxed{f(x+1)>f(1-x)}$ για κάθε $\displaystyle x > 0$ .

Maria-Eleni Nikolaou · #3

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 09, 2024 8:08 am
Έστω $\displaystyle f(x) = {e^x} - ex,\,\,\,x \in R$
Δείξετε ότι $\displaystyle f(1 + x) > f(1 - x)$ , για κάθε $\displaystyle x > 0$ .

Έπειτα από αντικατάσταση, αρκεί να δείξουμε ότι $e^x-e^{-x}>2x$ , για κάθε x>0

.

Έστω, $h(x)=e^x-e^{-x}$ , με $D_h:[0, + \infty)$ .

Έχουμε, $h^{(2n+1)}(x)=e^x+e^{-x} >0$ ,για κάθε $x\geq 0$ και $h^{(2n+2)}(x)=h(x)$ , όπου $n\in \mathbb{N}$ .

Επίσης είναι, $e^x-e^{-x}=0 \Leftrightarrow x=0$ . Συνεπώς, για $x\geq 0$ η

είναι κυρτή.

Η εφαπτόμενη της

στο

είναι, $y-h(0)=h’(0)\cdot x \Leftrightarrow y=2x$ .

Συνεπώς, αφού η γραφική παράσταση κυρτής συνάρτησης βρίσκεται πάνω από την εφαπτόμενη, με εξαίρεση το σημείο επαφής, το ζητούμενο αποδείχθηκε.

#4

exdx έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 09, 2024 8:08 am
Έστω $\displaystyle f(x) = {e^x} - ex,\,\,\,x \in R$
Δείξετε ότι $\displaystyle f(1 + x) > f(1 - x)$ , για κάθε $\displaystyle x > 0$ .

Από την $a+a^{-1} > 2$ για a>0

, έχουμε $e^x+e^{-x} >2$ για x>0

.

Ολοκληρώνουμε τώρα από

έως

. Θα βρούμε $e^X-e^{-X} >2X$ , που ισοδυναμεί με την ζητούμενη.

Ασυμμετρία

Ασυμμετρία

Re: Ασυμμετρία

Re: Ασυμμετρία

Re: Ασυμμετρία

Μέλη σε σύνδεση