ασκησεις ΔΟΛΟΦΟΝΟΙ

#1

από fb οι εκφωνήσεις λυσεις δικες μου

Να λυθει $\displaystyle{2\sqrt[3]{2y-1}=y^3+1}$

Εχουμε $\displaystyle{2\sqrt[3]{2y-1}=y^3+2y-2y+1}$

θετουμε $\displaystyle{2y-1=t^3}$

Η εξισωση γινεται $\displaystyle{2y+y^3=2t+t^3}$

αφου η $\displaystyle{f(x)=x^3+2x}$ είναι 1-1 και εχουμε $\displaystyle{f(y)=f(t)}$ θα εχουμε και $\displaystyle{y=t}$

αρα $\displaystyle{2y-1=y^3}$ ή $\displaystyle{(y-1)(y^2+y-1)=0}$

Τελικά $\displaystyle{y=1,y=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}}$ Με $\displaystyle{y>1\2}$

oποτε απορρίπτεται η αρνητική

Να δειχθεί οτι $\displaystyle{sin10^0}$ είναι άρρητος

έχουμε $\displaystyle{sin3x=3sinx-4sin^3x}$

Θετω $\displaystyle{sin10^0=y}$

παίρνουμε $\displaystyle{1/2=3y-4y^3}$ ή $\displaystyle{8y^3-6y+1=0}$ kai Θετω $\displaystyle{p(y)=8y^3-6y+1 }$ Aν το p είχε ρητή ρίζα m/n $\displaystyle{ θα έπρεπε }$ m/1,n/8 $\displaystyle{ αρα }$ sin10^0=\pm 1,1/2,1/4,1/8

άτοπο

αυτές τις ασκήσεις τις χαρακτήρισαν σαν ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΟΛΟΦΟΝΟΥΣ συμφωνείται η οχι

#2

R BORIS έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 18, 2023 8:40 am
από fb οι εκφωνήσεις λυσεις δικες μου

Να λυθει $\displaystyle{2\sqrt[3]{2y-1}=y^3+1}$

...

Να δειχθεί οτι $\displaystyle{sin10^0}$ είναι άρρητος

...

αυτές τις ασκήσεις τις χαρακτήρισαν σαν ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΟΛΟΦΟΝΟΥΣ συμφωνείται η οχι

.
Ας αρχίσω από το τέλος.

Οι ασκήσεις είναι ιδιαίτερα ελκυστικές. Είναι του τύπου που πρέπει να σκεφτεί κανείς πέρα από τους απλούς συλλογισμούς ρουτίνας που βλέπουμε συχνά. Προσοχή, δεν λέω ότι οι ασκήσεις ρουτίνας πρέπει να εκλείψουν, δεδομένου ότι στην διαδικασία μάθησης που βρίσκονται οι μαθητές μας πρέπει να αρχίσουμε από τα απλά. Αλλοίμονο όμως αν μέναμε εκεί. Πρέπει οπωσδήποτε να περάσουμε και σε ένα δεύτερο επίπεδο, λίγο πιο απαιτητικών και λίγο πιο ελκυστικών ασκήσεων. Οι παραπάνω δύο ασκήσεις, το πετυχαίνουν αυτό. Χωρίς τέτοιες ασκήσεις, τα Μαθηματικά βαλτώνουν.

Για να συνοψίσω: Στο ερώτημα αν οι ασκήσεις αυτές είναι "δολοφόνοι" απαντώ "όχι βέβαια". Αντίθετα. είναι στα σωστά μέτρα του αμέσως επόμενου σταδίου, πέρα από τις ασκήσεις ρουτίνας, που πρέπει να γνωρίσουν οι μαθητές μας.

Ας προσθέσω ότι επειδή οι δύο ασκήσεις έχουν πολλαπλούς τρόπους αντιμετώπισης, είναι ένας λόγος παραπάνω να τις γνωρίσουν οι μαθητές μας. Είναι πλεονέκτημα στην διδασκαλία μας να συζητάμε και άλλες μεθόδους αντιμετώπισης.

Π.χ. ένας άλλος τρόπος αντιμετώπισης της πρώτης άσκησης είναι (συνοπτικά) ο εξής.

Η εξίσωση γράφεται $\displaystyle{\sqrt[3]{2y-1}=\dfrac {1}{2} (y^3+1)}$ . Αν τώρα θέσουμε $f(y)= \dfrac {1}{2} (y^3+1)}$ , εύκολα βλέπουμε ότι το αριστερό μέλος είναι $f^{-1}(y)$ , οπότε η εξίσωση γίνεται

$f(y) = f^{-1}(y)$

που αντιμετωπίζεται με γνωστό (και ελκυστικό) τρόπο. Αφήνω τις λεπτομέρειες.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 18, 2023 11:01 am

R BORIS έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 18, 2023 8:40 am
από fb οι εκφωνήσεις λυσεις δικες μου

Να λυθει $\displaystyle{2\sqrt[3]{2y-1}=y^3+1}$

...

Να δειχθεί οτι $\displaystyle{sin10^0}$ είναι άρρητος

...

αυτές τις ασκήσεις τις χαρακτήρισαν σαν ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΟΛΟΦΟΝΟΥΣ συμφωνείται η οχι
.

Για να συνοψίσω: Στο ερώτημα αν οι ασκήσεις αυτές είναι "δολοφόνοι" απαντώ "όχι βέβαια". Αντίθετα.

Είναι το τέταρτο πρόβλημα από τα λεγόμενα Jewish problems. Από εκεί και ο τίτλος ''Ασκήσεις ΔΟΛΟΦΟΝΟΙ'' φαντάζομαι...

ασκησεις ΔΟΛΟΦΟΝΟΙ

ασκησεις ΔΟΛΟΦΟΝΟΙ

Re: ασκησεις ΔΟΛΟΦΟΝΟΙ

Re: ασκησεις ΔΟΛΟΦΟΝΟΙ

Μέλη σε σύνδεση