ξ του θεωρήματος μέσης τιμής και σημείο καμπής.

#1

Δεν θυμάμαι αν την έχουμε ξαναδεί. Με αφορμή αυτό το θέμα.

Έστω

δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ που έχει (μοναδικό) σημείο καμπής με τετμημένη το x_0

και στα $(-\infty, x_0)$ , $(x_0,+\infty)$ η διατηρεί πρόσημο.
Να αποδειχθεί ότι για κάθε $a \neq b$ είναι
$\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}\neq f^{\prime }\left( x_{0}\right).$

Edit 3-3-23 19.30 Διόρθωσα την διατύπωση της εκφώνησης. Τα κόκκινα εντός παρένθεσης διαγράφονται τα πράσινα προστίθενται. Ζητώ συγνώμη σε όσους τυχόν ταλαιπωρήθηκαν.

math80 · #2

Έστω $a\neq b$ . Πρέπει να δείξουμε ότι η χορδή

με

τέμνει την εφαπτομένη , (ε) , της C_f

στο

. Η

έχει μοναδικό σημείο καμπής με τετμημένη x_0

επομένως μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι κυρτή στο $(-\infty,x_0]$ και κοίλη στο $[x_0,+\infty)$ .

Αν a=x_0

ή

τότε η ΑΒ τέμνει κατά τετριμμένο τρόπο την (ε).

Αν a<b<x_0

τότε υπάρχει εφαπτομένη της C_f

παράλληλη στην ΑΒ και έστω (ζ) αυτή. Η (ζ) τέμνει υποχρεωτικά την (ε) διότι αν $M(\xi , f(\xi))$ είναι το σημείο επαφής της (ζ) με τη C_f

, τότε $\xi < x_0$ και άρα $f'(\xi)<f'(x_0)$ αφού η

είναι γνησίως αύξουσα αριστερά του x_0

. Επομένως και η ΑΒ τέμνει υποχρεωτικά την (ε).

Αν x_0<a<b

τότε υπάρχει εφαπτομένη της C_f

παράλληλη στην ΑΒ και έστω (r) αυτή. Η (r) τέμνει υποχρεωτικά την (ε) διότι αν $M(\xi_1, f(\xi_1))$ είναι το σημείο επαφής της (r) με τη C_f

, τότε $\xi_1> x_0$ και άρα $f'(\xi_1)<f'(x_0)$ αφού η

είναι γνησίως φθίνουσα δεξιά του x_0

. Επομένως και η ΑΒ τέμνει υποχρεωτικά την (ε).

Αν a<x_0<b

τότε τα Α ,Β βρίσκονται σε διαφορετικά ημιεπίπεδα ως προς την (ε) και άρα πάλι η ΑΒ την τέμνει.

Τελικά για κάθε $a\neq b$ η χορδη ΑΒ τέμνει την (ε) συνεπώς έχουν διαφορετικούς συντελεστές διεύθυνσης.

Όλα τα παραπάνω με τη υπόθεση a<b

.

Υ.γ. Ζήτω το 5ο αίτημα!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

math80 έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 03, 2023 2:46 pm
Η έχει μοναδικό σημείο καμπής με τετμημένη επομένως μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι κυρτή στο $(-\infty,x_0]$ και κοίλη στο $[x_0,+\infty)$ .

Δεν είναι σωστό το παραπάνω.
Πάρε $\displaystyle f(x)=e^{-\frac{1}{x}}$ για $\displaystyle x>0$
$\displaystyle f(x)=0$ για $\displaystyle x\leq 0$

math80 · #4

Ευχαριστώ πολύ. Θα κοιτάξω μήπως μπαλώνεται. Στο παράδειγμα που δώσατε όλες οι εφαπτομένες πίσω από το 0 ταυτίζονται με τις χορδές οπότε τέμνονται.

#5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 03, 2023 5:18 pm

math80 έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 03, 2023 2:46 pm
Η έχει μοναδικό σημείο καμπής με τετμημένη επομένως μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι κυρτή στο $(-\infty,x_0]$ και κοίλη στο $[x_0,+\infty)$ .
Δεν είναι σωστό το παραπάνω.
Πάρε $\displaystyle f(x)=e^{-\frac{1}{x}}$ για $\displaystyle x>0$
$\displaystyle f(x)=0$ για $\displaystyle x\leq 0$

math80 έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 03, 2023 5:33 pm
Ευχαριστώ πολύ. Θα κοιτάξω μήπως μπαλώνεται. Στο παράδειγμα που δώσατε όλες οι εφαπτομένες πίσω από το 0 ταυτίζονται με τις χορδές οπότε τέμνονται.

Διόρθωσα την εκφώνηση που δεν ήταν καλή. Σταύρο ευχαριστούμε για την παρατηρηση.

ksofsa · #6

Καλησπέρα.

Με επιφύλαξη:

Έστω ότι για κάποια $a\neq b$ , ισχύει $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(x_{0})$ . Υποθέτουμε ότι a<b

.

Το $x_{0}$ είναι θέση ολικού ακροτάτου για τη συνάρτηση

, έστω ολικού ελαχίστου.

Δηλαδή $f'(x)>f'(x_{0})$ , για κάθε $x\neq x_{0}$ .

Θεωρώ συνάρτηση $g(x)=\dfrac{f(b+x)-f(a)}{b+x-a},x\epsilon(a-b,+\infty )$ .

Για κάθε

στο εν λόγω πεδίο ορισμού , από Θ.Μ.Τ. υπάρχει τιμή της

που ισούται με g(x)

.

Συνεπώς , $g(x)\geq f'(x_{0})$ . Δεδομένου ότι $g(0)=f'(x_{0})$ , το

είναι θέση ολικού ελαχίστου για την

.

Από Fermat,

g'(0)=0

.

Είναι $g'(x)=\dfrac{(b+x-a)f'(b+x)-f(b+x)+f(a)}{(b+x-a)^2}$

και άρα $g'(0)=0\Leftrightarrow f'(b)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

Οπότε, $f'(b)=f'(x_{0})$ .

Θα γράψω πώς μπορούμε με ελάχιστες τροποποιήσεις της μεθόδου να αποδείξουμε ότι $f'(a)=f'(x_{0})$ .

Θεωρούμε συνάρτηση $h(x)=\dfrac{f(b)-f(a+x)}{b-a-x},x\epsilon (-\infty ,b-a).$

Για κάθε

στο εν λόγω πεδίο ορισμού , υπάρχει από Θ.Μ.Τ. τιμή της

, ώστε να είναι ίση με h(x).

Οπότε, $h(x)\geq f'(x_{0})$ και επειδή $h(0)=f'(x_{0})$ , το

είναι θέση ολικού ελαχίστου για την

.

Από Fermat, h'(0)=0.

Είναι $h'(x)=\dfrac{-f'(a+x)(b-a-x)+f(b)-f(a+x)}{(b-a-x)^2}$

και άρα $h'(0)=0\Leftrightarrow f'(a)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a},$

απ' όπου $f'(a)=f'(x_{0}).$

Όμως, $f'(x)\geq f'(x_{0}),$ με ισότητα για $x=x_{0}$ , όπως αναφέραμε στην αρχή.

Άρα, $x_{0}=a=b$ , άτοπο.

abgd · #7

nsmavrogiannis έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 03, 2023 2:05 am
Δεν θυμάμαι αν την έχουμε ξαναδεί. Με αφορμή αυτό το θέμα.

Έστω δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ που έχει (μοναδικό) σημείο καμπής με τετμημένη το και στα $(-\infty, x_0)$ , $(x_0,+\infty)$ η διατηρεί πρόσημο.
Να αποδειχθεί ότι για κάθε $a \neq b$ είναι
$\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}\neq f^{\prime }\left( x_{0}\right).$

Edit 3-3-23 19.30 Διόρθωσα την διατύπωση της εκφώνησης. Τα κόκκινα εντός παρένθεσης διαγράφονται τα πράσινα προστίθενται. Ζητώ συγνώμη σε όσους τυχόν ταλαιπωρήθηκαν.

Υποθέτουμε ότι a<b

Αφού η

διατηρεί σταθερό πρόσημο στα διαστήματα $(-\infty, x_0)$ , $(x_0,+\infty)$ και έχει σημείο καμπής στο x_0

θα πρέπει να έχει σε κάθε διάστημα διαφορετικό πρόσημο και έτσι η

θα αλλάζει μονοτονία εκατέρωθεν του x_0

.

Έστω ότι η

είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty, x_0]$ , και γνησίως φθίνουσα στο $[x_0,+\infty)$ .

Αν $a,b \in \(-\infty, x_0]$ τότε από Θ.Μ.Τ υπάρχει $\xi \in (a,b)$ τέτοιο ώστε:

$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ και λόγω μονοτονίας της θα είναι $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f'(b)\leq f'(x_0)$ .

Ομοίως, αν $a,b \in [x_0,+\infty)$ προκύπτει $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}<f'(a)\leq f'(x_0)$ .

Αν τότε από Θ.Μ.Τ. υπάρχουν $\xi_1 \in (a,x_0)$ και $\xi_2 \in (x_0, b)$ τέτοια ώστε:

$f'(\xi_1)=\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}$ και $f'(\xi_2)=\frac{f(b)-f(x_0)}{b-x_0}$

Έτσι λόγω μονοτονίας της είναι

${f(x_0)-f(a)}<f'(x_0)(x_0-a)$ και ${f(b)-f(x_0)}<f'(x_0)(b-x_0)$

Προσθέτοντας κατά μέλη και διαιρώντας με το έχουμε $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}< f'(x_0)$

Δηλαδή σε κάθε περίπτωση: $\boxed{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}< f'(x_0)}$

Ομοίως αν η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty, x_0]$ , και γνησίως αύξουσα στο $[x_0,+\infty)$ θα έχουμε: $\boxed{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}>f'(x_0)}$

Τελικά έχουμε το ζητούμενο $\frac{f\left( b\right) -f\left( a\right) }{b-a}\neq f^{\prime }\left( x_{0}\right).$

#8

Ευχαριστώ όλους όσους συμμετείχαν στην συζήτηση.
Η απόδειξη που είχα κατά νου ήταν εκείνη του Κώστα (abgd).

ξ του θεωρήματος μέσης τιμής και σημείο καμπής.

ξ του θεωρήματος μέσης τιμής και σημείο καμπής.

Re: ξ του θεωρήματος μέσης τιμής και σημείο καμπής.

Re: ξ του θεωρήματος μέσης τιμής και σημείο καμπής.

Re: ξ του θεωρήματος μέσης τιμής και σημείο καμπής.

Re: ξ του θεωρήματος μέσης τιμής και σημείο καμπής.

Re: ξ του θεωρήματος μέσης τιμής και σημείο καμπής.

Re: ξ του θεωρήματος μέσης τιμής και σημείο καμπής.

Re: ξ του θεωρήματος μέσης τιμής και σημείο καμπής.

Μέλη σε σύνδεση