Όριο

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ . Αν η $\mathcal{C}_f$ έχει πλάγια ασύμπτωτη στο $+\infty$ την $y=\lambda x + \beta \; , \; \lambda>0$ τότε να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left( f(x) \ln (x+1) - f(x+1) \ln x \right)}$

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

thepigod762 · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 05, 2021 12:47 pm
Έστω $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ . Αν η $\mathcal{C}_f$ έχει πλάγια ασύμπτωτη στο $+\infty$ την $y=\lambda x + \beta \; , \; \lambda>0$ τότε να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left( f(x) \ln (x+1) - f(x+1) \ln x \right)}$

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια:

Προσθαφαιρούμε τα $\ln(x+1)(\lambda x + \beta), \ln(x)(\lambda (x+1) +\beta$ :

$\lim_{x\to +\infty} [f(x)\ln(x+1)-f(x+1)\ ln(x)]= =\lim_{x\to +\infty}[\ln(x+1)(f(x)-\lambda x-\beta)-\ln(x)(f(x+1)-\lambda (x+1)-\beta)+\ln(x+1)(\lambda x +\beta)- -\ln(x)(\lambda(x+1)+\beta)]= ...= \lim_{x\to +\infty}[\ln(x+1)(f(x)-\lambda x-\beta)-\ln(x)(f(x+1)-\lambda (x+1)- -\beta)+(\ln(1+1 ∕ x)(\lambda x +\beta)-\ln(x)]= =\lim_{x\to \infty} [\ln(x+1)(f(x)-\lambda x-\beta)] - \lim_{x\to \infty} [\ln(x)(f(x+1)-\lambda (x+1)-\beta)] + +\lim_{x\to \infty} [(\ln(1+1 ∕x)(\lambda x +\beta)]- \lim_{x\to \infty} \ln(x).$

Τα δύο πρώτα όρια τείνουν στο μηδέν, αφού από τον ορισμό της πλάγιας ασύμπτωτης:

$\lim_{u\to \infty} (f(u)-\lambda u -\beta) = 0 ,$ και προφανώς $x+1 \xrightarrow{x\to +\infty} +\infty.$

Το $\lim_{x\to \infty} [(\ln(1+1 ∕x)(\lambda x +\beta)] =0,$ αφού προφανώς

$\lim_{x\to \infty} \ln(1+1 ∕x) = 0$

και

$-\lim_{x\to \infty} \ln(x) = -\infty ,$ που είναι και τελικά το ζητούμενο όριο.

#4

Μπορεί να κάνω λάθος αλλά βλέπω πρόβλημα στο εξής βήμα:

thepigod762 έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 29, 2022 7:53 pm
$={\color {red} \lim_{x\to \infty} [\ln(x+1)(f(x)-\lambda x-\beta)] }- \lim_{x\to \infty} [\ln(x)(f(x+1)-\lambda (x+1)-\beta)]$

...

Τα δύο πρώτα όρια τείνουν στο μηδέν, αφού από τον ορισμό της πλάγιας ασύμπτωτης:

$\lim_{u\to \infty} (f(u)-\lambda u -\beta) = 0 ,$ και προφανώς $x+1 \xrightarrow{x\to +\infty} +\infty.$

Ας πούμε για το πρώτο (το κοκκινισμένο): Ναι μεν $f(x)-\lambda x -\beta$ τείνει στο

, αλλά αφού ο άλλος παράγοντας $\ln(x+1)$ τείνει το άπειρο, δεν μπορούμε αβρόχοις ποσί να πούμε κάτι για το γινόμενο.

Ομολογώ ότι και στην δική μου προσπάθεια να λύσω την άσκηση κόλλησα σε αυτό το σημείο. Δεν μπόρεσα να το ξεπεράσω και έτσι εγκατέλειψα (ίσως πρόωρα) την προσπάθεια. Μετά δεν ασχολήθηκα εκ νέου, αλλά με έτρωγε μέσα πώς θα ξεπεραστεί η δυσκολία.

dement · #5

Νομίζω αν γράψουμε τη συνάρτηση ως

$\displaystyle \left[ f(x) - f(x+1) \right] \ln(x) + \frac{f(x)}{x} \cdot x \ln (1 + 1/x)$

ξεπερνιούνται οι δυσκολίες.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 05, 2021 12:47 pm
Έστω $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ . Αν η $\mathcal{C}_f$ έχει πλάγια ασύμπτωτη στο $+\infty$ την $y=\lambda x + \beta \; , \; \lambda>0$ τότε να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{x \rightarrow +\infty} \left( f(x) \ln (x+1) - f(x+1) \ln x \right)}$

Είναι $\displaystyle f(x)= \lambda x+\beta +g(x)$
με
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }g(x)=0$

Εχουμε ότι

$\displaystyle f(x)\ln (x+1)-f(x+1)\ln x=$
$\lambda x(\ln(x+1)-\ln x)+\beta (\ln(x+1)-\ln x)+g(x)\ln (x+1)-g(x+1)\ln x-\lambda \ln x$

Είναι

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }x(\ln (x+1)-\ln x)=1,\lim_{x\rightarrow \infty }(\ln (x+1)-\ln x)=0$

Επειδή

$\displaystyle g(x)\ln (x+1)-g(x+1)\ln x-\lambda \ln x=-\lambda \ln x(1+\frac{1}{\lambda }g(x+1)-\frac{1}{\lambda }g(x)\frac{\ln (x+1)}{\ln x})$

συμπεραίνουμε ότι

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty }g(x)\ln (x+1)-g(x+1)\ln x-\lambda \ln x=-\infty$

Αρα τελικά το όριο είναι $-\infty$

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση