Ορθογώνιο σε τραπέζιο

KARKAR · #1

: Ορθογώνιο σε τραπέζιο.png (7.57 KiB) Προβλήθηκε 872 φορές

Το ορθογώνιο τραπέζιο ABCD

έχει μεγάλη βάση AD=a

, μικρή βάση BC=b

και ύψος

.

Σημείο

κινείται επί της

και έστωσαν P , T

οι προβολές του στις AB , AD

αντίστοιχα . Δημιουργήστε

συνάρτηση

, η οποία να αποδίδει το (SPAT)

και μελετήστε την ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα .

Για λόγους απλούστευσης των πράξεων , μπορείτε να θεωρήσετε :

kfd · #2

Aν

η προβολή του

στην

και

από την ομοιότητα των STD,CKD

έχω
$\frac{y}{h}=\frac{a-x}{a-b}\Leftrightarrow y=\frac{ah}{a-b}-\frac{hx}{a-b}$ . Tο Εμβαδόν $E(x)=xy=-\frac{h}{a-b}x^{2}+\frac{ah}{a-b}x, b\leqslant x< a$ με ${E}'(x)=-2x\frac{h}{a-b}+\frac{ah}{a-b}=0\Leftrightarrow x=\frac{a}{2}.$
H

γν. αύξουσα στο $\left [ b,\frac{a}{2} \right ]$ και γν. φθίνουσα στο $[\frac{a}{2},a)$ με ΟΜ το $E(\frac{a}{2})=\frac{a^{2}h}{4\left ( a-b \right )}$ και ΤΕ το E(b)=bh.

H ρίζα της παραγώγου είναι δεκτή αν $b<\frac{a}{2}$ διαφορετικά η Ε γν. φθίνουσα.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 18, 2022 7:10 pm
Ορθογώνιο σε τραπέζιο.pngΤο ορθογώνιο τραπέζιο έχει μεγάλη βάση , μικρή βάση και ύψος .

Σημείο κινείται επί της και έστωσαν οι προβολές του στις αντίστοιχα . Δημιουργήστε

συνάρτηση , η οποία να αποδίδει το και μελετήστε την ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα .

Για λόγους απλούστευσης των πράξεων , μπορείτε να θεωρήσετε :

Θέτω

και είναι $\displaystyle PS = \frac{{bx + (h - x)a}}{h}.$

: Ορθογώνιο σε τραπέζιο.png (6.94 KiB) Προβλήθηκε 801 φορές

$\displaystyle E(x) = PS \cdot x \Leftrightarrow E(x) = ax - \frac{{a - b}}{h}{x^2},x \in [0,h]$

Για a=5 , b=2 , h=6

είναι $\displaystyle E(x) = 5x - \frac{1}{2}{x^2},x \in [0,6]$ με παράγωγο $\displaystyle E'(x) = 5 - x.$

Η E(x)

είναι λοιπόν γνησίως αύξουσα στο [0,5],

γνησίως φθίνουσα στο [5,6]

και παρουσιάζει ολικό μέγιστο

$\boxed{E_{max}=\frac{25}{2}}$ για $\boxed{x=5}$ Έχουμε ακόμα ολικό ελάχιστο $\boxed{E(0)=0}$ και τοπικό ελάχιστο $\boxed{E(6)=12}$

Παρακάτω φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης.

: E(x).png (8.14 KiB) Προβλήθηκε 797 φορές

#4

Καλησπέρα. Τα ίδια λέω, αλλιώς. Δίχως Ομοιότητα, Παραγώγους, αλλά με Αναλυτική Γεωμετρία και Τριώνυμο, στη γενική περίπτωση. Έτσι για λόγους πλουραλισμού (όλα νόμιμα, εντός ύλης).

: Ορθογώνιο σε τραπέζιο.png (7.57 KiB) Προβλήθηκε 768 φορές

Είναι $\displaystyle A\left( {0,0} \right),\;B\left( {0,h} \right),\;C\left( {b,h} \right),\;D\left( {a,0} \right),\;\;0 < b < a,\;\;\;h > 0$

$\displaystyle DC:\;y = \frac{h}{{b - a}}\left( {x - a} \right)$ , οπότε $\displaystyle S\left( {t,\;\frac{{h\left( {t - a} \right)}}{{b - a}}} \right),\;\;t \in \left[ {b,a} \right]$

$\displaystyle \left( {PSTA} \right) = \frac{h}{{a - b}}\left( { - {t^2} + ta} \right),\;t \in \left[ {b,a} \right]$

Το τριώνυμο $\displaystyle - {t^2} + ta$ , εφόσον $\displaystyle b < \frac{a}{2}$ , αυξάνει στο $\displaystyle \left[ {b,\frac{a}{2}} \right]$ , παρουσιάζει μέγιστο όταν $\displaystyle t = \frac{a}{2}$ και φθίνει στο $\displaystyle \left[ {\frac{a}{2},a} \right]$ , με $\displaystyle {\left( {PSTA} \right)_{\max }} = \frac{{h{a^2}}}{{4\left( {a - b} \right)}}$ .

Ειδάλως, δηλαδή όταν $\displaystyle b \ge \frac{a}{2}$ , έχει μέγιστο για $\displaystyle t = b$ το $\displaystyle {\left( {PSTA} \right)_{\max }} = \frac{h}{{a - b}}\left( { - {b^2} + ab} \right)$ και ελάχιστο μηδέν, όταν t=a

.

Ορθογώνιο σε τραπέζιο

Ορθογώνιο σε τραπέζιο

Re: Ορθογώνιο σε τραπέζιο

Re: Ορθογώνιο σε τραπέζιο

Re: Ορθογώνιο σε τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση