Εύρεση μονοτονίας και τύπου της συνάρτησης

ILIOPOULOS PANAGIOTIS · #1

Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με f(0)=0

έχει την ιδιότητα:

$f'(x)(1+\left | x \right |)=1+\left | f(x) \right | , x\epsilon \mathbb{R}$ .

Να βρείτε:

α) τη μονοτονία της συνάρτησης,

β) τον τύπο της συνάρτησης.

#2

ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 11, 2020 4:37 pm
Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ με έχει την ιδιότητα:

$f'(x)(1+\left | x \right |)=1+\left | f(x) \right | , x\epsilon \mathbb{R}$ .

Να βρείτε:

α) τη μονοτονία της συνάρτησης,

β) τον τύπο της συνάρτησης.

Προφανώς

για κάθε

, οπότε η

είναι γνήσια αύξουσα. Ειδικά για x>0

είναι

, οπότε η δοθείσα σχέση (για x>0

) δίνει

$\displaystyle{f'(x)(1+x)-(1+f(x) ) =0 }$ , οπότε $\displaystyle{\left ( \dfrac {1+f(x)}{1+x}\right ) ' =0}$ . Άρα 1+f(x) =c(1+x)

, που από την αρχική συνθήκη παίρνοντας όριο στο

έχουμε

. Τελικά

για

(αλλά και για x=0

).

Εργαζόμαστε όμοια για x<0

, όπου

. Θα βρούμε πάλι f(x)=x

, και λοιπά.

#3

$\displaystyle{f'(x)=\frac{1+|f(x)|}{1+|x|}>0 \Rightarow f\uparrow}$
$\displaystyle{f(0)=0,f\uparrow \Rightarrow}$
$\displaystyle{f(x)>0}$ στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ kαι $\displaystyle{f(x)<0}$ στο $\displaystyle{(-\infty,0)}$
$\displaystyle{f'(x)=\frac{1+f(x)}{1+x} , x>0}$
αρα $\displaystyle{f(x)=-1+a(x+1)}$
αντιστοιχα
$\displaystyle{f(x)=1+b(x-1),x<0}$
Aπο συνεχεια στο 0 $\displaystyle{1-a=b-1=0}$ oποτε $\displaystyle{f(x)=x}$

Εύρεση μονοτονίας και τύπου της συνάρτησης

Εύρεση μονοτονίας και τύπου της συνάρτησης

Re: Εύρεση μονοτονίας και τύπου της συνάρτησης

Re: Εύρεση μονοτονίας και τύπου της συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση