Εφαπτομένη διέρχεται από σταθερό σημείο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσημη

Αν η εφαπτομένη σε κάθε σημείο της $C_{f}$

διέρχεται από σταθερό σημείο να δειχθεί ότι η $C_{f}$ είναι μέρος ευθείας

#2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 31, 2018 8:57 am
Εστω $f:(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ παραγωγίσημη

Αν η εφαπτομένη σε κάθε σημείο της $C_{f}$

διέρχεται από σταθερό σημείο να δειχθεί ότι η $C_{f}$ είναι μέρος ευθείας

Αν

το σταθερό σημείο και $p \in (a,b)$ τυχαίο, η υπόθεση είναι ότι η h=f'(p)(x-p) +f(p)

διέρχεται
από το (c,d)

. 'Αρα

.

Θα κάνω ακόμα την υπόθεση a<c<b

. Οι άλλες περιπτώσεις είναι όμοιες και ευκολότερες (βλέπε παρακάτω).

Ας αλλάξουμε συμβολισμό (δεν είναι απαραίτητο αλλά για όφελος των μαθητών που έχουν συνηθίσει την
μεταβλητή ως

) και γράφουμε d= f'(x)(c-x)+f(x)

. Για $x\ne c$ είναι

$\dfrac {d}{(c-x)^2}=\dfrac {f'(x)(c-x)+f(x)}{(c-x)^2}$ ή αλλιώς $\displaystyle{ \left ( \dfrac {d}{c-x}\right ) ' = \left (\dfrac {f(x)}{c-x} \right ) ' }$

Άρα υπάρχουν σταθερές e_1, e_2

με

$\displaystyle{ \dfrac {d}{c-x} = \dfrac {f(x)}{c-x} + e_1 }$ για x<c

και $\displaystyle{ \dfrac {d}{c-x} = \dfrac {f(x)}{c-x} + e_2 }$ για x>c

δηλαδή

$\displaystyle{f(x) = d- e_1 (c-x) }$ για x<c

και $\displaystyle{ f(x) = d- e_1 (c-x) }$ για x>c

. Από παραγωγισιμότητα, e_1=e_2

, και λοιπά.

Αν το

δεν ήταν στο διάστημα (a,b)

θα γλιτώναμε αυτό το βήμα καθώς περιττεύουν οι συνθήκες $x>c, \, x<c$ για

στο

.

perpendicular · #3

Συγχαρητήρια κύριε Λάμπρου. Διδακτικοτατη η προσέγγιση σας

Εφαπτομένη διέρχεται από σταθερό σημείο

Εφαπτομένη διέρχεται από σταθερό σημείο

Re: Εφαπτομένη διέρχεται από σταθερό σημείο

Re: Εφαπτομένη διέρχεται από σταθερό σημείο

Μέλη σε σύνδεση