O L' Hospital γεωμετρεί

#1

Να υπολογιστεί το όριο $\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{a(3x^2+a^2)-2\sqrt{2}ax\sqrt{x^2+a^2}}{2(x-a)^2}$ .

[Πηγή; Δεν έχω πρόβλημα, την αποκαλύπτω εδώ και τώρα

]

[Διόρθωσα το τυπογραφικό στην παρένθεση, 3x^2+a^2

αντί

...]

#2

gbaloglou έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 29, 2018 12:56 pm
Να υπολογιστεί το όριο $\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{a(3x^2+a)-2\sqrt{2}ax\sqrt{x^2+a^2}}{2(x-a)^2}$ .

[Πηγή; Δεν έχω πρόβλημα, την αποκαλύπτω εδώ και τώρα ]

...Καλημέρα

....

είπα να μη κουράσω τον DLH και δίνω μιά απάντηση (με διόρθωση στην υπόθεση...) χωρίς την βοήθεια του...

Αν $c=\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}$ έχουμε ότι

$f(x)=\frac{a(2{{x}^{2}}+{{c}^{2}}-2\sqrt{2}xc)}{2{{(x-a)}^{2}}}=\frac{a{{(\sqrt{2}x-c)}^{2}}}{2{{(x-a)}^{2}}}=\frac{a}{2}{{\left( \frac{x\sqrt{2}-\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}{x-a} \right)}^{2}}$ και τώρα είναι

$g(x)=\frac{x\sqrt{2}-\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}{x-a}=\frac{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}{(x-a)(x\sqrt{2}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{x+a}{x\sqrt{2}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}$ άρα

$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+a}{x\sqrt{2}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{2a}{2\sqrt{2}a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ έτσι έχουμε ότι

$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\frac{a}{2}\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{x\sqrt{2}-\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}{x-a} \right)}^{2}}=\frac{a}{2}{{\left( \underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,g(x) \right)}^{2}}=\frac{a}{4}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#3

Βασίλη σ' ευχαριστώ (ΚΑΙ για την επισήμανση του τυπογραφικού

), πολύ ωραίο και διδακτικό!

O L' Hospital γεωμετρεί

O L' Hospital γεωμετρεί

Re: O L' Hospital γεωμετρεί

Re: O L' Hospital γεωμετρεί

Μέλη σε σύνδεση