Κυρτότητα και κλίση

KARKAR · #1

: Κλίση λόγω κυρτότητας.png (12.91 KiB) Προβλήθηκε 1488 φορές

Η συνάρτηση

είναι κυρτή και έστω A(a,f(a))

ένα σταθερό σημείο της $C_{f}$ .

Έστω ακόμη B(b,f(b)) , C(c,f(c))

δύο σημεία της καμπύλης με b<c

.

Δείξτε ότι η κλίση του τμήματος

είναι μικρότερη εκείνης του

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 09, 2018 1:00 pm
Κλίση λόγω κυρτότητας.pngΗ συνάρτηση είναι κυρτή και έστω ένα σταθερό σημείο της $C_{f}$ .

Έστω ακόμη δύο σημεία της καμπύλης με .

Δείξτε ότι η κλίση του τμήματος είναι μικρότερη εκείνης του .

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle g(x) = \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}$ και $\displaystyle x > a$ που είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle g'(x) = \frac{{f'(x)(x - a) - [f(x) - f(a)]}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}}$

Από ΘΜΤ στο $\displaystyle [a,x]$ για την $\displaystyle f$ υπάρχει $\displaystyle \xi$ στο $\displaystyle \left( {a,x} \right)$ με $\displaystyle f(x) - f(a) = f'(\xi )\left( {x - a} \right)$

Έτσι $\displaystyle g'(x) = \frac{{f'(x) - f'(\xi )}}{{x - a}} > 0$ αφού $\displaystyle {f'}$ γνήσια αύξουσα.Άρα η $\displaystyle g$ είναι γνήσια αύξουσα

και για $\displaystyle a < b < c \Rightarrow g(b) < g(c) \Rightarrow \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} < \frac{{f(c) - f(a)}}{{c - a}}$

KARKAR · #3

Ας παρατηρήσουμε ότι το ίδιο ισχύει και αν : b<c<a

, ή αν : b<a<c

. Για να ορίζεται

δε η

και στο

, μπορούμε να θεωρήσουμε την : $g(x)=\left\{\begin{matrix} & \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a},x\neq a\\ & \\ & f'(a) , x=a \end{matrix}\right.$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 09, 2018 6:08 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μαρ 09, 2018 1:00 pm
Κλίση λόγω κυρτότητας.pngΗ συνάρτηση είναι κυρτή και έστω ένα σταθερό σημείο της $C_{f}$ .

Έστω ακόμη δύο σημεία της καμπύλης με .

Δείξτε ότι η κλίση του τμήματος είναι μικρότερη εκείνης του .
Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle g(x) = \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}$ και $\displaystyle x > a$ που είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle g'(x) = \frac{{f'(x)(x - a) - [f(x) - f(a)]}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}}$

Από ΘΜΤ στο $\displaystyle [a,x]$ για την $\displaystyle f$ υπάρχει $\displaystyle \xi$ στο $\displaystyle \left( {a,x} \right)$ με $\displaystyle f(x) - f(a) = f'(\xi )\left( {x - a} \right)$

Έτσι $\displaystyle g'(x) = \frac{{f'(x) - f'(\xi )}}{{x - a}} > 0$ αφού $\displaystyle {f'}$ γνήσια αύξουσα.Άρα η $\displaystyle g$ είναι γνήσια αύξουσα

και για $\displaystyle a < b < c \Rightarrow g(b) < g(c) \Rightarrow \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} < \frac{{f(c) - f(a)}}{{c - a}}$

Δεν χρειάζεται το ΘΜΤ.

Θέλουμε να δείξουμε ότι

$f'(x)(x - a) - (f(x) - f(a))\geq0$ με ισότητα για x=a

Λόγω κυρτότητας αν πάρουμε το (x,f(x))

είναι $f(t)\geq f(x)+f'(x)(t-x)$

Αν θέσουμε t=a

παίρνουμε την ζητούμενη.

#5

Ιδιο θεμα υπάρχει στον ΕΚΘΕΤΗ του Νίκου Μαυρογιάννη στην εργασία μου ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑΣ

Κυρτότητα και κλίση

Κυρτότητα και κλίση

Re: Κυρτότητα και κλίση

Re: Κυρτότητα και κλίση

Re: Κυρτότητα και κλίση

Re: Κυρτότητα και κλίση

Μέλη σε σύνδεση