Μέγιστο άθροισμα τόξων

#1

Έστω ότι τα κέντρα $\displaystyle O,\,\,K$ δύο κύκλων με ακτίνες $\displaystyle R,\,\,\,r$ έχουν απόσταση $\displaystyle d$ , με $\displaystyle d>R+r$ .
Βρείτε σε ποιό σημείο της διακέντρου και ανάμεσα στους δύο κύκλους πρέπει να τοποθετηθεί μια σημειακή φωτεινή πηγή $\displaystyle C$ ώστε να φωτίζει όσο το δυνατόν μεγαλύτερο άθροισμα τόξων των δύο κύκλων.

Υ.Γ. Θα ήταν ενδιαφέρουσα και μια λύση με Γεωμετρία
Υ.Γ 2
α) Εκ των υστέρων είδα ότι η λύση με ανάλυση δεν είναι εφικτή αφού δεν μπορεί να εκφραστεί
το μήκος του τόξου μέσω του αποστήματος . Αν κάποιος βρεί τον τρόπο θα χαρώ πολύ .
β) Το ίδιο πρόβλημα λύνεται αν αντί για κύκλους θεωρήσουμε σφαίρες και αναζητήσουμε τη μέγιστη
δυνατή φωτιζόμενη επιφάνεια . αθροιστικά , των δύο σφαιρών .
γ) Για τους κύκλους μένει η Γεωμετρική λύση , αν υπάρχει τέτοια .
δ) Ζητώ συγνώμη απ΄αυτούς που ταλαιπώρησα .

#2

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 18, 2017 4:29 pm
Έστω ότι τα κέντρα $\displaystyle O,\,\,K$ δύο κύκλων με ακτίνες $\displaystyle R,\,\,\,r$ έχουν απόσταση $\displaystyle d$ , με $\displaystyle d>R+r$ .
Βρείτε σε ποιό σημείο της διακέντρου και ανάμεσα στους δύο κύκλους πρέπει να τοποθετηθεί μια σημειακή φωτεινή πηγή $\displaystyle C$ ώστε να φωτίζει όσο το δυνατόν μεγαλύτερο άθροισμα τόξων των δύο κύκλων.

Υ.Γ. Θα ήταν ενδιαφέρουσα και μια λύση με Γεωμετρία

Καλησπέρα Γιώργη!

: maxsum.png (16.28 KiB) Προβλήθηκε 1417 φορές

Αναζητούμε τη θέση του

για τη μέγιστη γωνία

Εικάζω ότι αυτό συμβαίνει όταν $\displaystyle TC \bot OK,$ αλλά ακόμα

δεν έχω γενική απόδειξη. Στο σχήμα είναι $\displaystyle R = 3,r = 2,d = 7,OC \simeq 3.97124$

edit: Άρση απόκρυψης.

Christos.N · #3

Εγώ εικάζω Γιώργη και Γιώργο ότι το μέγιστο επιτυγχάνεται στο σημείο που οι εφαπτόμενες ημιευθείες γίνονται αντικείμενες.

τοξα.ggb: (14.54 KiB) Μεταφορτώθηκε 63 φορές

#4

Christos.N έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 19, 2017 9:01 pm
Εγώ εικάζω Γιώργη και Γιώργο ότι το μέγιστο επιτυγχάνεται στο σημείο που οι εφαπτόμενες ημιευθείες γίνονται αντικείμενες.

Συμφωνώ Χρήστο . Είναι το σημείο τομής των εσωτερικών εφαπτομένων . Γι΄αυτό πρότεινα μια Γεωμετρική λύση .
Ωραίο το σχήμα . Δεν ήξερα το $\displaystyle {\rm{\Lambda (x({\rm E})}}{\rm{,\alpha )}}$ για τη γραφική παράσταση . Ευχαριστώ .

#5

exdx έγραψε: ↑
Σάβ Νοέμ 18, 2017 4:29 pm
Έστω ότι τα κέντρα $\displaystyle O,\,\,K$ δύο κύκλων με ακτίνες $\displaystyle R,\,\,\,r$ έχουν απόσταση $\displaystyle d$ , με $\displaystyle d>R+r$ .
Βρείτε σε ποιό σημείο της διακέντρου και ανάμεσα στους δύο κύκλους πρέπει να τοποθετηθεί μια σημειακή φωτεινή πηγή $\displaystyle C$ ώστε να φωτίζει όσο το δυνατόν μεγαλύτερο άθροισμα τόξων των δύο κύκλων.

Υ.Γ. Θα ήταν ενδιαφέρουσα και μια λύση με Γεωμετρία

Μάλλον δεν κατάλαβα καλά την άσκηση. Νόμιζα ότι αναφερόταν σε μέτρα τόξων, αλλά ο Γιώργης εννοούσε μήκη τόξων.

: maxsum.b.png (22.24 KiB) Προβλήθηκε 1298 φορές

Εν ολίγοις εγώ αναζητούσα τη θέση του

για την οποία μεγιστοποιείται το άθροισμα $\overset\frown{DE}+\overset\frown{FG}=a+b=2x,$

(Σχήμα-1), ενώ η άσκηση ζητούσε για ποια θέση του

μεγιστοποιείται το Ra+rb.

(Σχήμα-2)

: maxsum.c.png (20.64 KiB) Προβλήθηκε 1298 φορές

Για το πρώτο πρέπει τα σημεία T, C, T'

να είναι συνευθειακά και $\displaystyle TT' \bot OK$ (για συγκεκριμένες τιμές των R, r, d

υπολογίζεται το μήκος

με λογισμικό), ενώ για το δεύτερο είναι αυτό που ειπώθηκε πιο πάνω για το σημείο τομής των

κοινών εσωτερικών εφαπτομένων.

Πάντως, όποια ερμηνεία κι αν δώσει κανείς, είναι μια πολύ ωραία άσκηση.

Μέγιστο άθροισμα τόξων

Μέγιστο άθροισμα τόξων

Re: Μέγιστο άθροισμα τόξων

Re: Μέγιστο άθροισμα τόξων

Re: Μέγιστο άθροισμα τόξων

Re: Μέγιστο άθροισμα τόξων

Μέλη σε σύνδεση