Εφαπτομένη

gradion · #1

Δίνεται η γνησίως αύξουσα και κυρτή στο [0,1] συνάρτηση f, για την οποία

ισχύει f'(1)=f(1)+f(0)

και είναι η παράγωγος συνεχής στο [0,1].

Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη ,σε κάποιο σημείο ,η οποία περνά απο την αρχή των αξόνων.

#2

Αναζητούμε σημείο x_0

τέτοιο ώστε 0-f(x_0)=f'(x_0)(0-x_0)

, δηλαδή

. Θεωρώντας την συνάρτηση g(x)=xf'(x)-f(x)

παρατηρούμε ότι g(0)=-f(0)

και

, υπάρχει επομένως x_0

μεταξύ

και

τέτοιο ώστε g(x_0)=0

, σχέση ισοδύναμη προς το ζητούμενο.

[Ο συλλογισμός καταρρέει στην περίπτωση f(0)=0

, τότε όμως η εφαπτομένη στο (1, f(1))

περνά από την αρχή των αξόνων!]

#3

gbaloglou έγραψε:Αναζητούμε σημείο τέτοιο ώστε , δηλαδή . Θεωρώντας την συνάρτηση παρατηρούμε ότι και , υπάρχει επομένως μεταξύ και τέτοιο ώστε , σχέση ισοδύναμη προς το ζητούμενο.

[Ο συλλογισμός καταρρέει στην περίπτωση , τότε όμως η εφαπτομένη στο περνά από την αρχή των αξόνων!]

Ακριβέστερα -- και προφανέστερα

-- όταν

οι εφαπτόμενες και στο (0, f(0))

και στο

περνούν από την αρχή των αξόνων. (Τριτοβάθμια πολυώνυμα με αυτήν την ιδιότητα έχουν την μορφή f(x)=ax^3-2ax^2+cx

, ενώ για $f(0)\neq 0$ έχουν την μορφή $f(x)=ax^3+bx^2+cx+\displaystyle\frac{2a+b}{2}$ .)

Εφαπτομένη

Εφαπτομένη

Re: Εφαπτομένη

Re: Εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση