Απλή(;)

chris97 · #1

Μου δόθηκε την περασμένη χρονιά ως μαθητής αλλά η λύση που έδωσα ήταν εκτός
σχολικών πλαισίων(για το δεύτερο σκέλος).Αν είναι δυνατόν θα ήθελα να δω κάτι
σχολικό..
Αν η

είναι κυρτή στο

να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον

που ανήκει στο διάστημα [3,12]

ώστε:

$f(xo)=\frac{f(3)+f(6)+f(12)}{3}$ και ότι f(xo)>f(7)

Tolaso J Kos · #2

Μπορεί να κάνω λάθος αλλά δε χρειαζόμαστε και τη συνέχεια της

;

#3

chris97 έγραψε: Αν η είναι κυρτή στο να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον
που ανήκει στο διάστημα ώστε:

$f(x_o)=\frac{f(3)+f(6)+f(12)}{3}$ και ότι

Καταρχάς πρέπει να δίνεται η παραγωγισιμότητα της $\displaystyle{f}$ για να παραμένουμε στο σχολικό πλαίσιο.

Από θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής η $\displaystyle{f}$ έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο $\displaystyle{[3,12].}$ Ας τις πούμε $\displaystyle{m,M}$ αντίστοιχα.

Είναι

$\displaystyle{m\leq f(3)\leq M,m\leq f(6)\leq M,m\leq f(12)\leq M}$

οπότε

$\displaystyle{m\leq \frac{f(3)+f(6)+f(12)}{3}\leq M}$

άρα, λόγω συνέχειας, υπάρχει $\displaystyle{x_0\in [3,12],}$ ώστε

$\displaystyle{f(x_0)=\frac{f(3)+f(6)+f(12)}{3}.}$

Το δεύτερο ζητούμενο είναι συνέπεια της ανισότητας Jensen. Μια σχολική απόδειξη του ζητούμενου έχει ως εξής:

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{f(12)-f(7)>f(7)-f(6)+f(7)-f(3).}$

Από το Θεώρημα Μέσης Τιμής, αρκεί

$\displaystyle{5f'(a)>f'(b)+4f'(c)}$

όπου $\displaystyle{a\in (7,12),b\in (6,7),c\in (3,7).}$

Το ζητούμενο είναι άμεση συνέπεια του ότι η $\displaystyle{f'}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Tolaso J Kos έγραψε:Μπορεί να κάνω λάθος αλλά δε χρειαζόμαστε και τη συνέχεια της ;

Ούτως ή άλλως η $\displaystyle{f}$ ως κυρτή στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ είναι συνεχής, μόνο που δεν το διδάσκονται οι μαθητές μας. Το θέμα είναι η παραγωγισιμότητα, η οποία δεν είναι απαραίτητη για να οριστεί η κυρτότητα. Στα σχολικά μαθηματικά όμως, είναι απαραίτητο να δίνεται.

Tolaso J Kos · #4

matha έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:Μπορεί να κάνω λάθος αλλά δε χρειαζόμαστε και τη συνέχεια της ;
Ούτως ή άλλως η $\displaystyle{f}$ ως κυρτή στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ είναι συνεχής, μόνο που δεν το διδάσκονται οι μαθητές μας. Το θέμα είναι η παραγωγισιμότητα, η οποία δεν είναι απαραίτητη για να οριστεί η κυρτότητα. Στα σχολικά μαθηματικά όμως, είναι απαραίτητο να δίνεται.

Θάνο, το γνωρίζω το εν λόγω θεώρημα. Για αυτό εξάλλου ρώτησα για τη συνέχεια της

για να παραμείνουμε στα σχολικά δεδομένα. Από τη λύση σου βέβαια βλέπω ότι θέλουμε και το ισχυρότερο, τη συνθήκη της παραγωγισιμότητας.

chris97 · #5

Σας ευχαριστώ για την ενασχόληση σας κύριε Θάνο και Τόλη.

Όσον αφορά την παραγωγισιμότητα:

Το σχολικό βιβλίο αναφέρει ως προϋπόθεση για να μιλήσουμε για κυρτή συνάρτηση
τόσο την συνέχεια της σε ένα διάστημα Δ όσο και την παραγωγισιμότητά της στο εσωτερικό
του Δ.
Διορθώστε με αν κάνω λάθος.

#6

chris97 έγραψε: Όσον αφορά την παραγωγισιμότητα:

Το σχολικό βιβλίο αναφέρει ως προϋπόθεση για να μιλήσουμε για κυρτή συνάρτηση
τόσο την συνέχεια της σε ένα διάστημα Δ όσο και την παραγωγισιμότητά της στο εσωτερικό
του Δ.
Διορθώστε με αν κάνω λάθος.

Αφού λοιπόν είναι προϋπόθεση, πρέπει να δηλώνεται ρητά η παραγωγισιμότητα. Δεν (πρέπει να) υπάρχουν σιωπηρά δεδομένα.

gradion · #7

καλημέρα
Μήπως θα μπορούσατε να εξηγήσετε το τελευταίο ερώτημα ,γιατί τα διαστήματα έχουν κοινά σημεία π.χ.[3,7],[6,7].

Αντώνης

#8

gradion έγραψε:καλημέρα
Μήπως θα μπορούσατε να εξηγήσετε το τελευταίο ερώτημα ,γιατί τα διαστήματα έχουν κοινά σημεία π.χ.[3,7],[6,7].

Αντώνης

Αντώνη, αυτό που μας ενδιαφέρει είναι ότι το (7,12)

είναι ξένο - και δεξιότερα - των (3,7), (6,7)

. Είναι στο βήμα

5f'(a) > f'(b) +4f'(c)

. Αναλυτικότερα, f'(a) > f'(b)

και

.

Μ.

gradion · #9

Σας ευχαριστώ πολύ .

Απλή(;)

Απλή(;)

Re: Απλή(;)

Re: Απλή(;)

Re: Απλή(;)

Re: Απλή(;)

Re: Απλή(;)

Re: Απλή(;)

Re: Απλή(;)

Re: Απλή(;)

Μέλη σε σύνδεση