Γεωμετρική συνάρτηση 2

KARKAR · #1

: Γεωμετρική συνάρτηση 2.png (9.11 KiB) Προβλήθηκε 1973 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, είναι :

. Σημείο

κινείται από το

προς το

και έστω : BD=x

. Δημιουργήστε συνάρτηση

η οποία να αποδίδει το μήκος του τμήματος

.

Βρείτε τα ακρότατα της

και σχεδιάστε την γραφική της παράσταση .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 06, 2025 6:27 am
Γεωμετρική συνάρτηση 2.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Σημείο κινείται από το προς το

και έστω : . Δημιουργήστε συνάρτηση η οποία να αποδίδει το μήκος του τμήματος .

Βρείτε τα ακρότατα της και σχεδιάστε την γραφική της παράσταση .

$\cos \theta = \dfrac{a}{{2b}}$ . Από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle DBC$ , $D{C^2} = {x^2} + {a^2} - 2ax\dfrac{a}{{2b}}$ και άρα :

$f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - \dfrac{{{a^2}}}{b}x + {a^2}} \,\,\,,\,\,\,\,0 \leqslant x \leqslant b$ . (Τμήμα άνω κλάδου ισοσκελούς υπερβολής)

: Γεωμετρική συνάρτηση 2.png (22.37 KiB) Προβλήθηκε 1960 φορές

Από $F\left( {0,a} \right)$ έως $G\left( {b,b} \right)$ παρουσιάζει δε ελάχιστο στο , ${x_0} = \dfrac{{{a^2}}}{{2b}}$ το $f\left( {\dfrac{{{a^2}}}{{2b}}} \right) = \dfrac{{a\sqrt {4{b^2} - {a^2}} }}{{2b}}$ .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 06, 2025 6:27 am
Γεωμετρική συνάρτηση 2.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Σημείο κινείται από το προς το

και έστω : . Δημιουργήστε συνάρτηση η οποία να αποδίδει το μήκος του τμήματος .

Βρείτε τα ακρότατα της και σχεδιάστε την γραφική της παράσταση .

Από τον Νόμο των Συνημιτόνων στο BCD

έχουμε $f(x) = \sqrt {x^2+a^2-2xa \cos B }= \sqrt {x^2+a^2- \dfrac {a^2}{b}x$ .

H μελέτη είναι άμεση και ρουτίνα. Εδώ $0\le x \le b$ . Με παραγώγιση (ή από ιδιότητες του τριωνύμου) έχουμε ολικό ελάχιστο όταν $x= \dfrac {a^2}{2b}$ (απαιτεί $\dfrac {a^2}{2b} <b$ ) και ολικό μέγιστο στο δεξί άκρο. Πιο εποπτικά/γεωμετρικά, το ελάχιστό είναι όταν το f(x)

γίνει ύψος και μέγιστο όταν γίνει ίσο με την πλευρά AC=b

.

Edit. Με πρόλαβε ο Νίκος όσο έγραφα. Το αφήνω για τον κόπο.
Έκανα και την προσθήκη με κόκκινο, όπως πολύ σωστά μου υπέδειξε σε Π.Μ. ο Γιώργος Βισβίκης).

.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 06, 2025 6:27 am
Γεωμετρική συνάρτηση 2.pngΣτο τρίγωνο , είναι : . Σημείο κινείται από το προς το

και έστω : . Δημιουργήστε συνάρτηση η οποία να αποδίδει το μήκος του τμήματος .

Βρείτε τα ακρότατα της και σχεδιάστε την γραφική της παράσταση .

Για

,

: Γεωμετρική συνάρτηση_ok.png (27.63 KiB) Προβλήθηκε 1951 φορές

KARKAR · #5

: Νέα εγκύκλιος sx.png (13.24 KiB) Προβλήθηκε 1939 φορές

Το Geogebra δίνει την δυνατότητα του περιορισμού της γραφικής παράστασης στο επιθυμητό πεδίο ορισμού .

Μπορώ να εκφράσω την βεβαιότητα ότι και ο Γιώργος ( Βισβίκης ) , θα καταπιαστεί με το θέμα

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 06, 2025 9:30 am
Νέα εγκύκλιος sx.pngΤο Geogebra δίνει την δυνατότητα του περιορισμού της γραφικής παράστασης στο επιθυμητό πεδίο ορισμού .

.
Θανάση, αυτό ακριβώς έκανα για το σχέδιο στην λύση μου παραπάνω, και δεν αμφιβάλω ότι το ίδιο έκανε και ο Νίκος.

Βλέπω την αξία της άσκησης ως ένα γεωμετρικό πρόβλημα που μεταφράζεται σε αλγεβρικό. Από εκεί και πέρα, η γραφική παράσταση της $\sqrt {ax^2+bx+c}$ είναι χιλιοειπωμένο θέμα ρουτίνας.

#7

Θα αναφερθώ μόνο στην περίπτωση που το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο, π.χ a=5,b=3.

: Γ.Σ.2.png (4.89 KiB) Προβλήθηκε 1904 φορές

Στο σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $\displaystyle f(x) = \sqrt {{x^2} - \frac{{25}}{3}x + 25} ,0 \leqslant x \leqslant 3.$

Όπως παρατηρούμε η

διατηρεί τη μονοτονία της στο [0,3]

άρα τα μόνα ακρότατα είναι στα άκρα του πεδίου

ορισμού της, f(0)=5, f(3)=3,

ολικό μέγιστο και ολικό ελάχιστο αντίστοιχα.

Γεωμετρική συνάρτηση 2

Γεωμετρική συνάρτηση 2

Re: Γεωμετρική συνάρτηση 2

Re: Γεωμετρική συνάρτηση 2

Re: Γεωμετρική συνάρτηση 2

Re: Γεωμετρική συνάρτηση 2

Re: Γεωμετρική συνάρτηση 2

Re: Γεωμετρική συνάρτηση 2

Μέλη σε σύνδεση